얼마나 일을 해야 하는가?

Physics/유체역학 2022. 2. 11. 21:09

무게가 $W$인 원통형 물체의 절반이 잠긴 채 물에 떠 있다. 물체를 물에서 완전히 빼내기 위해 해주어야 할 일은? 단, 물이 담긴 용기의 단면적은 물체의 단면적의 $3$배이고 물체의 높이는 $H$다.

1. $WH/6$

2. $WH/4$

3. $WH/3$

4. $WH/2$

5. $WH$

 

더보기

물의 밀도를 $\rho$, 물체의 단면적을 $A$라면 처음 떠 있을 조건에서 $\rho g AH/2 = W$이다. 물체가 $x$만큼 올라가서 수면이 $y$만큼 내려간다면, 단면적의 차이가 2배(물이 채워지는 부분)이므로  $y=x/2$임을 알 수 있다. 따라서 물체가 잠겨있는 깊이는 $H/2 - (x+y)=H/2-3x/2$이고, 이에 따른 부력은 $F_b = \rho g A (H-3x)/2= \frac{W}{H}(H- 3x)$이다. 물체를 들어올리는 데 필요한 외력은 $F = mg - F_b = \frac{W}{H} 3x$.  $x=H/3$일 때 물체가 물에서 완전히 빠져나오므로 필요한 최소의 일은

$$ \text{Work} = \int_0^{H/3} F dx = \frac{WH}{6}$$

임을 알 수 있다. 

 
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얼마나 일을 해야 하는가?

Physics/역학 2022. 2. 11. 20:39

가벼운(무게 무시) 공을 서서히 물 속으로 밀어넣어 바닥에 닿게 했다. 이 과정에서 해주어야 할 일은?

단, 공에 담길 수 있는 물의 무게는 $W$이고, 공이 잠긴 후 수면은 처음보다 $a$만큼 높아졌다.

1. $Wh$

2. $W(h-R)$

3. $W(h-R+a)$

4. $W(h-R+a/2)$

5. 정보 부족

 

힌트: 복잡한 계산없이도 알 수 있다.

 

더보기

바닥에 가라앉은 공이 밀어낸 물이 처음 수면 위의 물을 채웠다고 봐도 된다(나머지는 변함이 없다). 따라서 운동에너지를 생각하지 않으면 위치에너지 변화만 있고, 이동한 물의 무게중심이 $y=R$에서 $y=h+\frac{a}{2}$로 옮긴 것이므로 해준 일은

$$ \text{Work} = \Delta U = W \Big( h + \frac{a}{2} - R \Big)$$

 
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훌라후프의 운동에너지는?

Physics/역학 2022. 2. 11. 09:37

반지름 $R$인 훌라후프가 반지름이 $R/2$인 사람 허리를 축으로 일정하게 돌고 있다. 훌라후프 중심이 돌아가는 각속도가 $\omega$일 때 운동에너지는 어떻게 표현되는가? 후프의 회전관성은 $MR^2$이다.

1. $\frac{5}{8} MR^2 \omega^2$

2. $MR^2\omega^2$

3. 이중에 답이 없다.

 

더보기

훌라후프의 순간적인 회전축은 원기둥의 중심이다.

원기둥의 중심에 대한 회전관성은 $I_{AOIR} = MR^2 + M(R/2)^2=\frac{5}{4}MR^2$이므로

$$ K = \frac{1}{2}I_{AOIR}\omega^2 = \frac{5}{8}MR^2 \omega^2$$

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얼마나 회전한 것인가?

Physics/역학 2022. 2. 11. 09:13

반지름 $R$인 둥근언덕에서 반지름 $r$인 실린더가 미끄러짐 없이 구른다. 접촉점이 수직과 이루는 각이 $\theta$일 때 실린더는 얼마나 회전한 것인가?

1. 중심이 움직인 각도에서: $\theta$

2. 접촉점이 움직이 거리에서$\frac{R+r}{r}: \theta$

3. 기어비에서: $\frac{R}{r}\theta$

 

아래의 경우는 어떻게 될까?

 

 
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