두 극판이 접지된 평행판 축전기의 사이에 $+1\text{C}$의 점전하가 놓여있다. 왼쪽 극판과 오른쪽 극판에 유도되는 전하를 각각 $q_L$, $q_R$이라 할 때 $q_L/q_R$은?
1. $\frac{a}{d}$
2. $1-\frac{a}{d}$
3. $\frac{d}{a}$
4. $\frac{d}{a} - 1$
Hint: Green's reciprocation theorem을 사용하면 되지만 (또는 image charge method), 대칭성과 중첩의 원리를 잘 이용하면 그런 복잡한 계산없이도 답을 구할 수 있다.
매끄러운 벽에 기대어 서있는 막대의 아랫부분을 살짝 오른쪽으로 당기면 막대는 벽을 타고 미끄러지기 시작한다. 바닥도 매끄럽다. 막대가 벽에서 떨어지는 각 $\theta$는?
1. 바닥까지 접촉 상태로 내려간다: $\theta=0$
2. $\sin^{-1}(2/3)$
3. $\sin^{-1}(2/3)$보다 크다.
4. $\sin^{-1}(2/3)$보다 작다.
5. 막대의 길이/질량에 따라 달라진다.
수평과 $\theta$ 각을 이룰 때 막대는 막대-벽-바닥의 접촉점이 만드는 사각형의 바깥쪽 꼭짓점을 기준으로 순간적인 회전운동으로 이해할 수 있다. 이 점에 대한 회전관성은 $I=\frac{1}{6}mL^2$이므로 역학적 에너지 보존에 의해서 회전 각속도를 구할 수 있다.
$$ \omega^2 = \frac{3g}{L}(1-\sin \theta)$$
따라서 각가속도는
$$\alpha = -\frac{3g}{2L}\cos \theta$$
막대의 질량중심 수평좌표 $x= \frac{L}{2}\cos \theta$을 두 번 미분해서 질량중심의 가속도
$$a_x = \frac{3g}{4}\cos \theta (2 - 3\sin \theta) $$
을 얻을 수 있는데, 벽에서 떨어지면 수평방향의 외력이 사라지므로 $a_x=0$이어야 한다. 이 조건에서 $\sin \theta = 2/3$임을 알 수 있다.
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전하 $q$로 균일하게 대전된 정사각형 판(한변 길이=$a$)의 중심에서 위쪽으로 $a/2$ 만큼 떨어진 지점에 점전하 $Q$가 있다. 둘 사이에 작용하는 전기력은 같은 거리만큼 떨어진 두 점전하 $Q$와 $q$사이에 작용하는 전기력보다 몇 배 센가?
1. $\pi/2$
2. $\pi/4$
3. $\pi/6$
4. $\pi/8$
Hint: 구체적인 적분을 할 필요는 없다.
면전하가 $Q$에 작용하는 쿨롱힘은
$$ F = k Q \sigma \int_\text{rect} \frac{dA }{r^2} \hat{k}\cdot \hat{r} =kQ\sigma \int_\text{rect} d\Omega$$
그런데 정사각형의 중심에서 $a/2$ 떨어진 지점에서 잰 입체각은 대칭성에 의해서 $4\pi$의 1/6이다. 따라서
$$ F = kQ\sigma \frac{4\pi}{6} = \frac{kQ q}{(a/2)^2 } \frac{\pi}{6}$$
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