Geometry & Recognition

중간 부분이 바닥에 닿는 순간 $M$은 정지하고, 두 막대는 같은 각속도를 가진다. 왼쪽 막대는 시계방향, 오른쪽 막대는 순간적으로 $M$을 기준으로 같은 각속도를 회전한다(순간 회전축). 역학적 에너지 보존을 적용하면,

$$ 2\times mg\frac{L}{2} \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} I \omega^2 \times 2 \quad \rightarrow ~~\therefore \omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}g}{2L}}$$

$$\therefore ~v=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}gL}{2}}$$

물이 이동하면 질량중심이 변한다. 질량중심이 가속을 하고 있으면 힘의 필요한데 이 힘이 저울의 눈금에 영향을 준다. 물이 위로 올라가는 경우를 보자. 계 전체 질량을 $M=W/g$, 단위 시간당 물의 이동량을 $k~[\text{kg/s}]$, 물그릇의 단면적을 $A$, 높이차를 $H$라 하면, $dt$초 동안에 물의 이동 질량은 $dm = kdt$이므로 질량중심의 변화는 ($y_1$=위쪽 수면 높이, $y_2$=아래쪽 수면 높이)

$$ dy_{cm} = \frac{ dm y_1 + (-dm) y_2}{M} =\frac{dm( y_1 - y_2)}{M} \quad \rightarrow ~~v_{cm} = \frac{k}{M} ( y_1 - y_2)$$ 

위쪽 그릇의 수면 높이 변화율은 (질량=밀도*밑면적*높이)

$$\frac{dy_1}{dt} = + \frac{k}{\rho A}$$

아래쪽 수면 높이 변화율은  

$$\frac{dy_2}{dt} = - \frac{k}{\rho A}$$

따라서 질량중심 가속도는 

$$ a_{cm} = \frac{k}{M} ( \dot{y}_1 -\dot{y}_2) = \frac{k^2}{\rho AM}$$

계 전체의 외력은 중력과 저울이 작용하는 수직항력이므로

$$M a_{cm } = \sum F_y = -  W +N  \quad ~~\therefore N = W + \frac{k^2}{\rho A}$$

임을 알 수 있다.  물이 내려가는 경우는 질량중심이 아래로 가속한다.

B지점에서 잰 배까지의 거리를 $r$ 수평과 이루는 각을 $\theta$라 하자. B지점에서 보았을 때 배가 실제로 움직이는 속도는 흐르는 물의 속도는 더한 속도로 움직이므로,

$$ \frac{dr}{dt} = - v_{boat} + v_{river}\cos\theta = -v(1 - \cos \theta). \quad ~~( r(0)=L)$$

그리고 각속도는 맞은편에 접근할 수록 각이 줄어들므로,

$$ \frac{d\theta}{dt} = -\frac{v_{river}\sin \theta}{r}=-\frac{v\sin \theta}{r},\quad ~~(\theta: \frac{\pi}{2}\rightarrow 0)$$

두 식에서

$$ \frac{dr}{d\theta} = r \frac{1-\cos\theta}{\sin \theta}$$

이므로 적분하면 $(r(t=0) = L, ~\theta(t=0)=\pi/2)$,

$$ r = \frac{L}{2}\sec^2(\theta/2)$$

이 곡선은 B를 초점으로 하고 B에서 오른쪽으로 $L$ 떨어진 AB에 평행인 직선을 준선으로 하는 포물선임을 쉽게 알 수 있다.