Geometry & Recognition

물은 경사면 방향으로 가속 운동($a = g\sin \theta$) 을 한다. 표면 근처의 물분자의 운동 방정식(수평=$x$, 수직=$y$)을 살펴보자. 물분자가 받는 힘은 표면에 수직한 방향의 압력 gradient $(\nabla P)$와 중력이 있다.

\begin{gather} \sum F_x = \nabla P \sin\alpha = ma_x = m g\sin \theta \cos \theta \\ \sum F_y = \nabla P  \cos \alpha  - mg = ma_y = -mg \sin \theta \sin \theta\end{gather}

표면은 압력이 일정해야 하므로 압력 gradient 방향에 수직해야 한다. 

$$ \tan\alpha = \frac{\nabla P_x}{\nabla P_y} = \frac{g\sin \theta\cos \theta}{g-g \sin^2 \theta}=\tan \theta$$

이므로 표면은 경사면과 나란해야 한다.

물체의 속도가 수평라인에 대해서 $\phi$만큼 아래를 향할 때, 물체의 운동방정식은(수평=$x$, 경사 아래=$y$)

$$m\frac{dv_x}{dt} = -\mu mg \cos \theta \cos \phi = -\mu mg \sin \theta\cos\phi~~(\text{안쓴다})$$

$$ m\frac {dv_y}{dt} = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta \sin \phi = mg\sin \theta(1-\sin \phi)$$

물체의 운동방향의 운동 방정식은 $(v=\sqrt{v_x^2 + v_y^2})$

$$ m\frac {dv}{dt} = mg\sin \theta \sin \phi - \mu \cos \theta = mg \sin \theta (\sin \phi -1)$$

두 식을 더하면

$$m\frac {d}{dt}(v_y + v) = 0~~\rightarrow~~ v_y +v =\text {const}=V$$

시간이 충분히 지나면 마찰력은 수평 속도를 없애므로 남는 것은 수직방향 속도 성분뿐이다. 따라서 $v_y(\infty) =v(\infty)$ 이므로 $v(\infty) =V/2$임을 알 수 있다.

자동차가 미끄지지않고 받을 수 있는 최대 힘은 최대 정지마찰력이다: $F=\mu mg$이다. 따라서 가능한 가속도 크기는 $\mu g$. 속도가 $v$일 때 가속도 크기는(구심 가속도+접선 가속도)

$$ a^2 = \Big(\frac{dv}{dt}\Big)^2  + \Big(\frac{v^2}{R}\Big)^2= \Big( v \frac{dv}{ds} \Big)^2  + \Big( \frac{v^2}{R}\Big)^2 = (\mu g)^2$$ 

정리하면

$$ \frac{d(v^2/\mu gR)}{\sqrt{1- (v^2/\mu gR)^2} }= \frac{2}{R} ds$$

가능한 최대 등속 원운동 속력이 $v_{max}=\sqrt{\mu gR}$이므로 위 식을 적분하면

$$ \sin ^{-1} (1) = \frac{2s}{R} \quad \rightarrow ~~s = \frac{\pi R}{4}$$

줄의 수평방향 성분$(T_0)$은 어디서나 일정하다. 그러나 줄의 무게 때문에 수직 성분은 변하게 된다. 임의의 지점에서 장력을 $T$라고 하면, $T_0 = T \cos \theta$이고, 수직방향의 운동 방정식은

$$ d(T \sin \theta) = \mu g ds \quad \rightarrow d(T_0 \tan \theta) = \mu g ds.$$

적분하면 

$$ T_0 \tan \theta_{end} = \mu g L .$$

$dy = ds \sin \theta$이므로 줄의 길이 대신 높이 $y$를 변수로 쓰면, 

$$d(T_0 \tan \theta) = \mu g \csc\theta dy.$$

다시 적분하면,

$$ T_0 (\sec \theta_{end} - 1) =\mu g H$$

따라서 $H$, $L$을 주면 $T_0$와 $\theta_{end}$을 얻을 수 있다.

$$T_0 =\mu g \frac{L^2 - H^2 }{2H}, \quad \theta_{end}=\tan^{-1} \frac{2HL}{L^2 - H^2}$$