Geometry & Recognition

평행판 축전기가 있다. 두 극판 중심평면상에 있는 외부 한 지점에서 전기장은?

풀이: 

중앙평면에서는 대칭성에 의해서 전기장은  $y$ 성분만 존재한다. 극판전하밀도가 일정할 때,

$$E_y=-2\times \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{upper}}\frac{\sigma dA\sin \theta }{r^2}$$인데 $dA\sin \theta$는 P에서 본 미소면적 $dA$의 정사영이므로 $dA\sin \theta /r^2$은 P에서 본 $dA$의 입체각에 해당한다(정사영은 코사인을 쓰는 것이 좀 더 직관적인데 이렇게 하려면 각도를 극판에 수직한 방향에 대해서 정의하면 된다). 따라서

$$E_y=-\frac{\sigma }{2\pi {ϵ}_0}\mathrm{\Omega }$$

로 쓸 수 있다. $\mathrm{\Omega }$는 P에서 본 위쪽 극판의 입체각이다. 극판에서 멀리 떨어진 지점일 경우(P에서  두 극판 중심까지 거리가 $R$) 

$$\mathrm{\Omega }\approx \frac{A\sin {\theta }_0}{R^2},\tan {\theta }_0=\frac{d/2}{R}\approx \sin {\theta }_0$$이므로

$$E_y\approx -\frac{\sigma Ad}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}=-\frac{p}{4\pi {ϵ}_0{R}^3}$$여기서 극판 전하에 의한 전기쌍극자 모멘트 $p$는 각 극판을 점전하로 본 근사식 $p\approx \sigma Ad$을 썻다. 이 결과는 극판에서 먼 지점에서는 두 반대 부호의 극판이 만드는 전기쌍극자에 의한 전기장으로 근사됨을 보여준다.

표면전하밀도 $\sigma$ 균일하게 대전된 구면(반지름 $R$)에 작은 구멍을 만들었다. 잘려진 cap의 중앙 P 지점에서 전기장의 세기는?

풀이: 대칭성에 의해서 전기장의 방향은 OP 방향임을 쉽게 알 수 있다. 이 방향 성분은

$$E_x=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{sphere with a hole}}\frac{\sigma dA\hat{r}\cdot \hat{x}}{r^2}$$

$$=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}{\int }_{\text{sphere with a hole}}d\mathrm{\Omega }=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}{\int }_0^{\pi /2-{\theta }_0/2}2\pi \sin \theta d\theta$$

$$=\frac{\sigma }{4\pi {ϵ}_0}2\pi (1-\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{{\theta }_0}{2}))=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}(1-\sin \frac{{\theta }_0}{2})$$

그리고 구멍의 크기가 매우 작은 경우엔 (${\theta }_0\ll 1$)

$$E_x\approx \frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$$로 근사된다. 이 결과는 중첩의 원리를 고려하면 쉽게 이해가 된다. 온전한 구면전하가 표면에 만드는 전기장($E_{\text{whole sphere}}=\sigma /{ϵ}_0$)은 구멍이 있는 구면이 만드는 전기장($E_x$)과 떼어져 나간 작은 조각의 전하가 만드는 전기장($E_{\text{patch}}=\sigma /2{ϵ}_0$)의 합으로 이해하면 구할 수 있다.

반지름 $R$인 대전되지 않은 도체구가 있고 이 도체구의 중심에서 $d>R$만큼 떨어진 위치에 점전하 $Q$가 있다. 도체구의 전위는?

풀이: 영상전하법(method of image)을 사용하면 쉽게 구할 수 있다. 그렇지만 여기서도 Green's reciprocity theorem을 사용하자. 이를 이용하면 동일한 도체 구성에서 서로 다른 두 전하구성이 만드는 전위함수 사이에 하나의 관계를 얻을 수 있다. 우선 동일 구성에서 전위를 구할 수 있는 간단한 경우(구성-1)는 전하 $q$로 도체구로 대전시킨 경우다. 이 경우 전하분포와 전위함수는

$${\sigma }_1=\frac{q}{4\pi R^2}=\text{const}$$

$$\begin{array}{r}{V}_1(r)=\{\begin{array}{cc}\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}r}& r\ge R\\ \frac{1}{4\pi {ϵ}_{0}R}& r\le R\end{array}\end{array}$$도체가 등전위임과 점전하를 도체구에 가까이 접근시킬 때 도체구 표면에서 전하분리가 일어나지만 총 전하량($=0$)은 변하지 않는다는 사실을 이용하면(${\int }_{\text{sphere}}{\sigma }_2{d}^{2}x=0$),

$$\int {\rho }_2{V}_1{d}^{3}x=Q\times V_1(d)+V_1(R){\int }_{\text{sphere}}{\sigma }_2{d}^{2}x=Q\times V_1(d)$$또,$$\int {\rho }_1{V}_2{d}^{3}x=q\times V_2(R)$$

이므로 우리가 구하려는 전하 구성의 경계에서 전위는

$$V_2(R)=\frac{Q}{q}{V}_1(d)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}d}$$ 즉, 도체구의 전위는 중심에서 점전하 $Q$ 단독의 전위와 같음을 알 수 있다. 왜 이런 값을 갖는가? 영상전하법으로 구할 때 점전하 $q$와 이의 영상전하가 만드는 전위가 도체 구면에서 0이므로(접지된 도체구일 때), 도체구가 일정한 전위를 가지기 위해서는 두 번째 영상전하를 중심에 놓아야 한다. 이 두 번째 영상전하의 크기는 도체구의 알짜 전하가 0이란 사실에 의해서 결정될 수 있는데 앞서 구한 전위는 이 두 번째 영상전하가 만드는 도체구면에서 전위와 같다.