Geometry & Recognition

거울면을 포물면, 타원면, 또는 쌍곡면으로 만들면 독특한 반사특성을 갖는다. 포물면은 주축에 평행인 광선이 입사하면 항상 초점에 모이고(https://kipl.tistory.com/626), 타원면은 한 초점에서 나오는 광선들은 반대편 초점에서 다시 모이게 된다(https://kipl.tistory.com/624). 그럼 쌍곡선을 회전시켜서 만든 쌍곡면은?

쌍곡선의 정의가 두 초점에서 거리의 차이가 일정하게 나는 점들의 자취이다. 두 초점의 위치벡터를 각각 $\overrightarrow{a}={\overrightarrow{OF}}_1$, $\overrightarrow{b}={\overrightarrow{OF}}_2$라면 쌍곡서의 위치 $\overrightarrow{r}$은 

$$|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}|=\pm \text{const}$$

이다. 쌍곡선이 적당한 매개변수에 의해서 매개화된 경우 이 식을 미분하면

$$\dot{\overrightarrow{r}}\cdot \frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}|}=\dot{\overrightarrow{r}}\cdot \frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}|}$$

$\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a}|}$는 $\overrightarrow{F_{1}P}$방향의 단위벡터이고, $\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b}|}$는 $\overrightarrow{F_{2}P}$방향의 단위벡터이므로 위식은

$$\cos {\theta }_a=\cos {\theta }_b$$임을 의미한다. 즉 한 초점($F_2$)으로 입사하는 광선이 쌍곡선의 접선과 이루는 각은 반사되어 다른 초점($F_1$)을 향하는 광선이 접선과 이루는 각도가 같아 빛의 반사의 법칙을 만족한다. 같은 원리로 쌍곡선 한 쪽 내부에서 반대편 초점을 향해서 입사하는 광선은 그 내부의 초점에 모이게 된다.

먼 곳의 별의 한 지점에서 나와 망원경 입구로 들어오는 빛은 거의 평행광선이므로 반사망원경을 쓸 경우 반사거울을 포물면 모양으로 만들면 포물선의 초점에 모이게 된다. 그러나 초점이 빛이 들어오는 경로에 있어 eyepiece를 사용할 수 없으므로  초점 앞에서 작은 거울을 이용해서 직각으로 반사시켜 경통 밖에서 초점이 형성되게 만든 망원경이 뉴턴식 반사망원경이다. 평면거울 대신 초점 근처에 작은 쌍곡면 거울을 놓고 반사경 중심에 뚫린 작은 구멍 밖에 초점이 생기게 만든 반사망원경이 카세그레인식(Cassegrain Telescope) 망원경이다. Hubble 망원경은 기본적으로 카세그레인식 이지만 주 거울을 포물면 대신 쌍곡면을 사용하였다(Ritchey-Chrétien telescope).일반적으로 카세그레인식 망원경이 뉴턴식에 비해서 경통이 짧다고 한다.

접지된 도체구 주변에 쌍극자 모멘트가 $\overrightarrow{p}$인 점쌍극자가 놓여있다. 도체구에 유도되는 알짜 전하는?

풀이: 쌍극자의 방향에 따라 도체구에 유도되는 전하분포가 달라질 것으로 예상할 수 있다. 도체구의 반지름이 $a$이고, 구 중심에서 $\overrightarrow{d}$만큼 떨어진 위치에 쌍극자가 있는 경우를 생각하자. 이 상황은 Green's reciprocity theorem을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 우선 전하분포와 전위를 알 수 있는 간단한 경우를 고려하면, 접지가 안된 도체구를 전하 $q$로 대전시킨 경우다. 이 전하분포가 만드는 전위는 도체구 밖에서 점전하의 전위와 같고, 내부에서는 일정한 값 $V_1(a)=\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}a}$로 주어진다. 그리고 점쌍극자의 전하분포가

$${\rho }_{\text{dipole}}(\overrightarrow{r})=\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ qh=const=p\end{array}}{lim}q(\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})-\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}+h\hat{p}))$$

$$=\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ qh=const=p\end{array}}{lim}-qh\hat{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})$$

$$=-\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})$$로 표현되고, 우리가 구하려는 구성 2에서 도체구는 접지되어 있으므로 

$$\int {\rho }_1{V}_2{d}^{3}x=0$$ 그리고

$$\int {\rho }_2{V}_1{d}^{3}x={\int }_{\text{sphere}}{\rho }_2{V}_1{d}^{3}x+{\int }_{\text{dipole}}{\rho }_2{V}_1{d}^{3}x$$

$$=V_1(a){\int }_{\text{sphere}}{\rho }_2{d}^{3}x+\int (-\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d}))V_1{d}^{3}x$$

$$=V_1(a)Q_{\text{sphere}}+\int (\overrightarrow{p}\cdot \mathrm{\nabla }{V}_1)\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{d})d^{3}x$$

$$=V_1(a)Q_{\text{sphere}}-\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{d}\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{d}^3}$$

$$\to Q_{\text{sphere}}=\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{d}\frac{a}{d^3}$$

균일한 전하밀도 $\rho >0$을 가지는 전하분포가 있다. 이 분포의 한 지점에서 전기장이 ${\overrightarrow{E}}_c$ 이고, 전위가 $V_c$ 다. 이제 이 지점을 중심으로 구형 영역 내부의 전하를 제거한다. 그러면 이 구형 영역 중심에서의 전기장과 전위는 어떻게 변할까?

• 전기장 세기: 감소한다, 그대로, 커진다.
• 전기장 방향: 변한다, 그래로
• 전위: 감소한다, 그대로, 증가한다.