Geometry & Recognition

구슬이 운동을 시작하면 원운동을 하는데, 처음에는 수직항력과 중력의 중심성분이 구심력 역할을 한다. 수직항력은 처음에는 링 중심에서 나가는 방향으로 작용하지만 $\cos \theta = 2/3$인 지점에 그 값이 0이 되고(구슬이 링에 꿰어져 있지 않다면 링에서 떨어진다), 그 이후에는 구슬을 계속 원운동 하게 만들기 위해서는 링 중심방향으로 작용해야 한다. 

$$\text{circular motion:} ~~N + mg \cos \theta = \frac{mv^2}{R}~~~~~ \textstyle{\left(0< \cos \theta <  \frac{2}{3}\right)}$$

이고 이때 구슬의 속력은 역학적 에너지 보존에 의해서 

$$ v^2 = 2 Rg (1-\cos \theta)$$이므로

$$ N =  mg ( 2  - 3\cos \theta)$$

이 수직항력의 반작용이 링에 작용하는데 수평성분은 양쪽 구슬에서 상쇄되므로 수직방향이 성분이 남는다. 이 수직방향 성분이 링의 무게보다 커지면 링은 위로 솟구칠 수 있다. 

$$ R_y = 2N \cos \theta = 2mg(2 \cos \theta - 3\cos^2 \theta) \ge \frac{2}{3}mg$$

링에 작용하는 힘이 장력, 중력 그리고 $R_y$인데, $\text{min}(R_y)>Mg$이면 장력이 없더라도 링은 위로 가속할 수 있다.

$$  m > \frac{3}{2}M$$

마찰이 없으므로 실린더의 회전운동은 없고, 위 실린더는 아래로 내려가는 운동을, 아래 실린더는 수평운동만 한다.  두 실린더가 접촉을 하는 동안 위쪽 실린더의 중심 높이를 $y$, 내려가는 속력은 $v_y$, 아래쪽 실린더의 수평위치를 $x$, 수평속도를 $v_x$, 그리고 두 실린더의 중심을 연결하는 선분이 수평과 이루는 각을 $\theta$라면

$$ x= R + 2R \cos \theta,~~~y = R+2R \sin  \theta $$

$$ v_x  = -2R \sin  \theta \frac{d \theta }{dt} ,~~~v_y = 2R \cos \theta \frac{d \theta}{dt} $$
역학적에너지 보존을 이용하면 

$$ \frac{1}{2} M (v_x^2 + v_y^2) = 2MgR(1-\sin  \theta) $$

$$ \to~~ v_x^2 + v_y^2 = 4gR(1-\sin \theta) $$

$$ \to~~ \left( \frac{d \theta}{dt}\right) ^2 = \frac{g}{R} (1-\sin \theta) $$

$$ \therefore ~ v_x^2 = 4Rg (\sin^2 \theta - \sin^3 \theta) $$

따라서

$$\frac{dv_x^2}{dt} =  4Rg \cos \theta ( 2 \sin \theta - 3 \sin ^2 \theta) \frac{d \theta}{dt}= 2 v_x \frac{dv_x}{dt} $$

$$ \to ~~ \frac{dv_x}{dt} = g\cos \theta  (3\sin \theta-2)$$이므로 $$ \sin\theta = \frac{2}{3}$$

일 때 최댓값에 도달한다.

$$ (v_x)_\text{max} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \sqrt{Rg}$$

아래쪽 실린더는 위쪽 실린더가 접촉면에서 누르는 힘($\vec{R}$)의 수평성분에 의해 가속이 되는데 $\theta =\sin^{-1} (2/3)$에서 두 실린더의 접촉이 없어지므로 수평성분의 변화가 생기지 않는다.

$$ R_x = M \frac{dv_x}{dt} = Mg \cos \theta ( 3\sin \theta-2)$$

윗쪽 실린더에 대해서도 확인하면,

$$ v_y^2 = 4Rg \cos^2 \theta ( 1- \sin \theta) $$

$$ M \frac{dv_y}{dt} = -Mg +R_y $$

$$ \to ~~ R_y = Mg + M \frac{dv_y}{dt} = Mg \sin \theta ( 3 \sin \theta - 2)$$어서 $R_y$도 0이 됨을 알 수 있다.