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두 바스켓이 움직이지 않으면(예를 들면, 양쪽 줄을 서로 묶어서) 용수철 저울의 눈금은 3kg으로 나올 것이다(도르래, 줄의 무게 무시). 두 바스켓이 움직임을 시작하면 용수철 저울의 눈금은 

1. 3kg 

2. 3kg 보다 크다.

3. 3kg 보다 작다.

 

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얼마나 늘어날까?

Physics 2020. 12. 24. 11:28
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오른쪽 물체를 일정한 힘 $F$로 당기면 용수철은 얼마까지 늘어날 수 있을까? 단, 당기기 시작할 때 두 물체는 정지상태이고 용수철은 늘어나거나 압축되지 않았다.

1. $F/4k$

2. $F/2k$

3. $F/k$

4. $2F/k$

5. 용수철이 끊어지기 전까지 늘어날 수 있다.

더보기

두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면

$$m \ddot{x}_1 = -k (x_1 - x_2), \quad m\ddot{x}_2 = - k (x_2 - x_1) +F.$$

두 물체의 상대좌표 $x=x_2 -x_1$에 대한 방정식은

$$ \ddot{x}= - \frac{2k}{m} x + \frac{F}{m}.$$

용수철의 자연 길이가 $\ell_0$면  이 방정식의 해는 ($x(0)=\ell_0,~\dot{x}(0)=0$)

$$ x(t) = \ell_0 + \frac{F}{2k}(1- \cos (\sqrt{\frac{2k}{m}}t))$$

이므로 $\max(|x-\ell_0|)= F/k$.

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사람이 타고 있는 상자를 도르래를 이용해서 위로 올리려 한다, 얼마의 힘으로 줄을 당겨야 하는가? 올라갈 수는 있는가?

  • 사람이 줄을 아래로 당기면 그 힘만큼 줄에 장력($T$)이 발생하고 도르래를 통해서 사람이 타고 있는 상자를 위로 당긴다.

  • 사람이 당기는 힘의 반작용은 사람(손)에게 작용하여서 위로 당긴다.

  • 사람과 상자는 같은 가속도로 올라간다($=a$).

상자와 사람의 FBD

 

사람에게 작용하는 힘: 

  • 줄을 당기는 힘의 반작용=장력($T$):2
  • 사람의 무게($Mg$):6
  • 상자의 바닥이 떠 받치는 힘=수직항력($N$):4

 

 

상자에게 작용하는 힘:

  • 줄이 당기는 힘=장력($T$):1
  • 상자의 무게($mg$):5
  • 사람이 상자를 누르는 힘=수직항력의 반작용($N$):3

 

 

사람-상자가 움직이려면 가속도가 $a \ge 0$ 이어야 한다.

 

즉, 자신의 무게와 타고 있는 상자 무게를 더한 값의 절반에 해당하는 힘으로 아래로 당겨야 한다. 간단하게 생각하면, 사람과 상자를 하나로 취급하면 이 둘을 당기는 힘은 두 줄에 걸리는 장력이 위로 향하고, 사람+상자의 무게는 아래로 향하므로 위로 올라가려면 최소한 위를 향하는 힘이 아래를 향하는 힘보다는 작지 않아야 한다.

 

같은 무게라도 자신이 당기면 절반의 힘으로 올라갈 수 있지만(a), 다른 사람이 당기면 무게 전체를 들어 올려야 한다(b). 그러나, 에너지의 관점에서 보면 이것은 조삼모사일 뿐이다. 왜 그럴까?

 

데모 동영상 감상:

youtu.be/5JQ43_-pyzw

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Posted by helloktk

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빠르게 달리다가 돌부리에 걸리면 넘어진다. 그러나 속력이 작으면 잘 넘어지지 않는다. 턱에 걸려 넘어지기 위해서는 얼마나 빨리 달려야 하는가를 살펴보기 위해서 간단한 물리적인 상황을 만들자. 정육면체 모양의 물체가 매끄러운 바닥을 일정한 속도로 달리다가 작은 턱에 걸릴 때 넘어질 조건을 보면

 

1. 턱이 외력을 작용하므로 충돌 전후 역학적 에너지의 보존을 보장할 수 없다.

2. 턱이 외력을 주므로 물체의 운동량도 보존이 안된다.

3. 물체가 넘어질 때 턱을 기준으로 회전을 하므로 이 지점을 회전축으로 할 때 턱이 육면체에 주는 힘은 토크를 만들지 않는다. 따라서 충돌 직전-직후의 턱을 회전축으로 하는 각운동량은 보존이 된다.(수직 항력이나 중력도 작용하는데 이 두 힘은 impulsive 한 힘이 아니다. 충돌이 순간적으로 일어난다면, 유한한 크기의 힘이 만드는 충격량은 (충돌 시간->0 이므로) 힘 x충돌 시간->0 이므로 (각)운동량의 변화에 기여하지 않는다.) 물론, 넘어지는 과정에서는 각운동량은 바꾸지만 이 문제에서 필요한 것은 충돌 직후의 각운동량으로 이 값은 충돌 직전과 같고 이를 이용해서 충돌 직후의 운동에너지$(K_f = {L_f^2}/{2I})$를 계산할 수 있다)

$$ \text{충돌 직전 각운동량} (L_i = Mva) =\text {충돌 직후 각운동량} (L_f) = L \quad (w.r.t.\text {턱})$$

 

충돌 직후에는 턱을 회전축으로 회전을 한다. 턱(정육면체 한 변)에 대한 회전관성은 

$$I=\frac{8Ma^2 }{3} \quad \text{정육면체 변에 대한 회전관성}$$

넘어가는 과정에서는 중력만 일을 하므로 정육면체의 역학적 에너지는 보존이 된다. 따라서 충돌 직후 운동에너지(턱에 대한 회전에너지=$K$)가 무게중심이 가장 높이 올라갔을 때 위치에너지의 증가$(\Delta U = Mga (\sqrt{2}-1))$보다 더 크면 턱을 기준으로 완전하게 회전할 수 있다.

$$K=\frac{L^2 }{2I }= \frac{3M v^2}{16 }\ge Mga (\sqrt{2}-1)=\Delta U,\\ \therefore v \ge 4\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{3}ga} = 1.486\sqrt{ga}.$$

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  1. 어려워요 2018.03.29 16:52  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    식이 나오는 과정을 더 자세히 알려주실수 있나요??

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사슬(길이=$L$, 질량=$M$)이 수직으로 바닥으로 떨어질 때 바닥이 받는 힘은?

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력$( f)$에 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2, ~~m(t)=\lambda (L- y(t))= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \sum F_y = m(t) g - f(t) = \frac{dp}{dt}= \frac{d(m(t) v(t) )}{dt} = \frac{dm(t)}{dt} v(t) + m(t) \frac{dv(t)}{dt}.$$

그런데, 떨어지는 부분은 자유낙하하므로

$$v(t)=gt, ~~\frac{dm(t)}{dt}=-\lambda g t$$

을 만족한다. 따라서 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ m(t)g - f(t) = -\lambda g^2 t^2 +  m(t) g\quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

 

 

보다 직관적으로는 사슬의 끝부분이 바닥에 닿는 순간 운동량이 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.

 

참고 영상: https://www.youtube.com/watch?v=hoU_9DGMfzs

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