Geometry & Recognition

두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면

$$m \ddot{x}_1 = -k (x_1 - x_2), \quad m\ddot{x}_2 = - k (x_2 - x_1) +F.$$

두 물체의 상대좌표 $x=x_2 -x_1$에 대한 방정식은

$$ \ddot{x}= - \frac{2k}{m} x + \frac{F}{m}.$$

용수철의 자연 길이가 $\ell_0$면  이 방정식의 해는 ($x(0)=\ell_0,~\dot{x}(0)=0$)

$$ x(t) = \ell_0 + \frac{F}{2k}(1- \cos (\sqrt{\frac{2k}{m}}t))$$

이므로 $\max(|x-\ell_0|)= F/k$.

• 사람이 줄을 아래로 당기면 그 힘만큼 줄에 장력($T$)이 발생하고 도르래를 통해서 사람이 타고 있는 상자를 위로 당긴다.
• 사람이 당기는 힘의 반작용은 사람(손)에게 작용하여서 위로 당긴다.
• 사람과 상자는 같은 가속도로 올라간다($=a$).

사람에게 작용하는 힘: 

• 줄을 당기는 힘의 반작용=장력($T$):2
• 사람의 무게($Mg$):6
• 상자의 바닥이 떠 받치는 힘=수직항력($N$):4

상자에게 작용하는 힘:

• 줄이 당기는 힘=장력($T$):1
• 상자의 무게($mg$):5
• 사람이 상자를 누르는 힘=수직항력의 반작용($N$):3

사람-상자가 움직이려면 가속도가 $a \ge 0$ 이어야 한다.

즉, 자신의 무게와 타고 있는 상자 무게를 더한 값의 절반에 해당하는 힘으로 아래로 당겨야 한다. 간단하게 생각하면, 사람과 상자를 하나로 취급하면 이 둘을 당기는 힘은 두 줄에 걸리는 장력이 위로 향하고, 사람+상자의 무게는 아래로 향하므로 위로 올라가려면 최소한 위를 향하는 힘이 아래를 향하는 힘보다는 작지 않아야 한다.

같은 무게라도 자신이 당기면 절반의 힘으로 올라갈 수 있지만(a), 다른 사람이 당기면 무게 전체를 들어 올려야 한다(b). 그러나, 에너지의 관점에서 보면 이것은 조삼모사일 뿐이다. 왜 그럴까?

데모 동영상 감상:

youtu.be/5JQ43_-pyzw

우선 떨어지는 부분은 사슬고리 사이의 마찰 등을 무시하면 오직 중력에 의해서 자유낙하한다. 사슬이 바닥에 닿을 때 바닥이 주는 충격력에( 바닥의 수직항력) 의해서 정지하게 된다. 따라서 떨어지는 부분(관심 대상은 떨어지고 있는 부분과 충격력에 의해서 순간 정지하는 미소 질량까지 포함된 계이다. 왜냐면 바닥의 충격력 $f$가 미소 질량에 외력으로 작용하기 때문임)에 작용하는 알짜힘은 자체의 중력과 바닥이 주는 충격력$(f)$이다. 떨어지는 부분의 질량 $m(t)$는 시간에 따라 계속 변하고, 자유낙하이므로 

$$y(t)=\frac{1}{2} gt^2,  \quad m(t)=\lambda (L- y)= \lambda (L -\frac{1}{2} gt^2 ) ,$$

로 주어진다. 운동방정식은(아래 방향=+)

$$ \frac{dp}{dt} = \sum F_y = m g - f(t).$$

$$ \frac{dp}{dt}= \frac{d(m v )}{dt} = \frac{dm}{dt} v + m \frac{ d v}{dt} = - \lambda g t^2 + m g $$

이므로 떨어지는 부분이 바닥으로부터 받는 충격력은

$$ -\lambda g^2 t^2 +  mg = mg - f(t) \quad \longrightarrow \quad f(t)=\lambda g^2 t^2.$$

사슬이 완전히 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간은 $L$ 높이에서 자유낙하하는 데 걸린 시간

$$y=L\quad \longrightarrow \quad t=\sqrt{\frac{2L}{g}},$$

이므로 다 떨어지는 순간 $f$는 

$$ f(y=L) = \lambda g^2 \left(\sqrt{\frac{2L}{g}} \right)^2= 2\lambda g L = 2Mg. $$

이 순간 바닥에 작용하는 알짜힘은 $f$의 반작용과 이미 바닥에 정지한 사슬의 무게이므로

$$ F_{bot} = f(y=L) +Mg = 3Mg.$$

보다 직관적으로는 사슬의 떨어지는 끝부분이 바닥에 닿는 순간 속도가 유한한 값에서 0으로 변하므로 바닥으로부터 끊임없이 충격량을 받아야 한다. $dm$의 질량이 정지하려면 바닥이 제공해야 할 충격량 $dJ$은

$$dJ = dm (v-0) = (\lambda dy)v \quad \rightarrow \quad f = \frac{dJ}{dt} =\lambda \frac{dy}{dt} v = \lambda v^2.$$

다 내려오는 순간 사슬의 속력은 $v^2 = 2gL$ 이므로,  $f= \lambda (2gL) =2Mg$.