Geometry & Recognition

실린더와 속이 찬 공이 언덕에서 미끄러짐이 없이 구를 때, 두 물체를 연결하는 막대에 작용하는 힘은? 단, 두 물체의 반지름과 질량은 같다.

1. 막대를 늘리려고 한다.
2. 막대를 압축하려고 한다.
3. 아무 힘이 작용하지 않는다.

무한히 긴 두 막대가 그림처럼 교차하고 있다. 각 막대의 단위 길이당 질량은 $\rho$로 일정하고, 두 막대의 가장 가까운 거리는 $a$이다. 두 막대 사이에 작용하는 중력은?

1. $a$의 제곱에 반비례한다.
2. $a$에 반비례한다.
3. $a$에 무관하다.

두 번째 질문: 막대의 길이$=L$이 충분히 길지만 $(L \gg a)$ 유한하다면 힘은 무한히 긴 경우에서 약간 벗어난 형태로 표현될 것이다. 벗어난 정도는 어떤 식으로 표현될까?

힌트: 구체적인 적분이 필요하지 않고 차원해석만 사용할 수 있으면 답을 추측할 수 있다. 그리고 전기력에 대해서도 같은 질문을 할 수 있다.

* https://kipl.tistory.com/473 풀이:

봉에 걸린 화장실 휴지를 아래로 서서히 당긴다. 처음에서 휴지 전체가 봉 둘레를 구르면서 풀린다(중심이 회전하려고 한다). 그러다 힘을 점점 증가시켜 일정 이상 크기가 되면 봉에서 미끄러지면서 풀리게 된다. 힘의 임계값은 무게의 몇 배인가? 정지마찰계수는 $\mu$.

1. $\frac{1}{(R/r)\sqrt{1+1/\mu^2}-1}$ 
2. $\frac{1}{(r/R)\sqrt{1+1/\mu^2}-1}$ 
3. $\frac{1}{(R/r)\sqrt{1+1/\mu^2}}$ 

훌라후프에 같은 질량의 물체가 테두리에 붙어있다. 훌라후프를 땅에 굴릴 때 너무 빠르면 물체가 위로 올라갈 때 바닥에서 떨어질 수 있다. 훌라후프가 튀지 않고 구르려면 물체가 바닥에 있을 때 중심이 움직이는 속력 $v_0$은 얼마가 되어야 하는가? 단, 훌라후프는 미끄러짐 없이 구른다.

1. $v_0 \le \sqrt{2gR}$

2. $v_0 \le \sqrt{4gR}$

3. $v_0 \le \sqrt{6gR}$

4. $v_0 \le \sqrt{8gR}$

Otsu 이진화에서 threshold 값의 선택은 전경과 배경 사이의 분산을 최대로 하는 픽셀 값이다. 영상의 히스토그램이 bimodal인 경우는 잘 동작하지만, unimodal인 영상의 경우는 제대로 처리가 안된다. Valley emphasis 방법은 Otsu 방법을 사용하면서 histogram profile의 valley에 가중치를 더해주는 방식으로 threshold 값을 찾는다.

\begin{gather} \text{Ostu's method: } ~~~\text{threshold}= \underset{0\le t< 256}{\text{argmax}}~\left(\omega_1(t) m_1(t)^2 + \omega_2(t) m_2^2(t)\right)\\  \text{valley-emphasis: }~~\text{threshold}=\underset{0\le t < 256} {\text{argmax}}~  (1-p_t)\left(\omega_1(t) m_1(t)^2 + \omega_2(t) m_2^2(t)\right) \end{gather}

Bimodal 분포의 영상은 Otsu와 거의 같은 결과를 준다. 두 개 이상의 클래스로 분리도 쉽게 구현이 된다.

참고: http://msn.iecs.fcu.edu.tw/report/data/ori_paper/2006-12-21/2006-Automatic%20thresholding%20for%20defect%20detection.pdf

int valley_emphasis_Otsu(int hist[], int N) {
    int istart = 0, iend = N - 1;
    while (!hist[istart]) istart++;
    while (!hist[iend])   iend--;
    double st = 0, sxt = 0;           // total pdf, total cdf;
    for (int i = istart; i <= iend;i++) { 
        st += hist[i]; 
        sxt += double(i) * hist[i];
    }
    int winner = istart; 
    double maxgain = 0;
    double s0 = 0, sx0 = 0;
    for(int i = istart; i <= iend; i++) {
        s0  += hist[i];				// 1-pdf;
        sx0 += double(i) * hist[i];		// 1-cdf;
        double s1  = st - s0;			// 2-pdf
        double sx1 = sxt - sx0;			// 2-cdf
        double m0  = sx0 / s0;			// E(X1);
        double m1  = sx1 / s1;			// E(X2);
        double gain = (1 - hist[i] / st) * (s0 * m0 * m0 + s1 * m1 * m1);
        if (gain > maxgain) {
            maxgain = gain; 
            winner = i;
        }
    }
    return winner;
};