뜨거운 커피가 담긴 종이컵의 테두리를 얼마의 힘으로 누르면 엎어질까? 화상을 입을 수 있으므로 직접하지는 마세요...
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물체가 진동할 때 주기가 제일 긴 것은?
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인터넷에서 유명한 Faraday법칙에 관련된 paradox 문제다. 그림과 같은 회로에서 회로 내부를 통과하는 자기장이 변하면 회로에 기전력이 만들어져서 전류가 흐른다.
$$I = \frac{\cal E}{R_1 + R_2},~~~ ~{\cal E} = \Big| \frac{d\Phi_B}{dt} \Big|$$
이 전류때문에 저항 $R_1$에 걸리는 전위차가 생기고 Ohm의 법칙을 적용하면
$$V_{R_1} = IR_1 = \frac{R_1 \cal E}{R_1+R_2}$$
임을 알 수 있다. 마찬가지로 $R_2$에 걸리는 전위차는
$$ V_{R_2} = I R_2 = \frac{R_2 \cal E}{R_1+R_2}\ne V_{R_1} \quad \text{if } R_1\ne R_2$$
을 얻는다. 두 저항이 다르면 전위차도 다르게 계산된다. 그런데 회로를 보면 P-Q 두 지점의 전위차는 $R_1$이나 $R_2$의 전위차와 같아야 되지 않는가? 어느 결론이 맞을까? 실험을 하면 어떤 결과가 나올까?
1. 달라야 한다.
2. 같아야 한다.
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물이 담긴 수레가 경사면을 미끄러져 내려온다. 수면의 기울기는?
1. $0$
2. $\theta/4$
3. $\theta/2$
4. $\theta$
물은 경사면 방향으로 가속 운동($a = g\sin \theta$) 을 한다. 표면 근처의 물분자의 운동 방정식(수평=$x$, 수직=$y$)을 살펴보자. 물분자가 받는 힘은 표면에 수직한 방향의 압력 gradient $(\nabla P)$와 중력이 있다.
\begin{gather} \sum F_x = \nabla P \sin\alpha = ma_x = m g\sin \theta \cos \theta \\ \sum F_y = \nabla P \cos \alpha - mg = ma_y = -mg \sin \theta \sin \theta\end{gather}
표면은 압력이 일정해야 하므로 압력 gradient 방향에 수직해야 한다.
$$ \tan\alpha = \frac{\nabla P_x}{\nabla P_y} = \frac{g\sin \theta\cos \theta}{g-g \sin^2 \theta}=\tan \theta$$
이므로 표면은 경사면과 나란해야 한다.
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