Geometry & Recognition

중간 부분이 바닥에 닿는 순간 $M$은 정지하고, 두 막대는 같은 각속도를 가진다. 왼쪽 막대는 시계방향, 오른쪽 막대는 순간적으로 $M$을 기준으로 같은 각속도를 회전한다(순간 회전축). 역학적 에너지 보존을 적용하면,

$$ 2\times mg\frac{L}{2} \sin(45^\circ) = \frac{1}{2} I \omega^2 \times 2 \quad \rightarrow ~~\therefore \omega=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}g}{2L}}$$

$$\therefore ~v=\sqrt{\frac{3\sqrt{2}gL}{2}}$$

B지점에서 잰 배까지의 거리를 $r$ 수평과 이루는 각을 $\theta$라 하자. B지점에서 보았을 때 배가 실제로 움직이는 속도는 흐르는 물의 속도는 더한 속도로 움직이므로,

$$ \frac{dr}{dt} = - v_{boat} + v_{river}\cos\theta = -v(1 - \cos \theta). \quad ~~( r(0)=L)$$

그리고 각속도는 맞은편에 접근할 수록 각이 줄어들므로,

$$ \frac{d\theta}{dt} = -\frac{v_{river}\sin \theta}{r}=-\frac{v\sin \theta}{r},\quad ~~(\theta: \frac{\pi}{2}\rightarrow 0)$$

두 식에서

$$ \frac{dr}{d\theta} = r \frac{1-\cos\theta}{\sin \theta}$$

이므로 적분하면 $(r(t=0) = L, ~\theta(t=0)=\pi/2)$,

$$ r = \frac{L}{2}\sec^2(\theta/2)$$

이 곡선은 B를 초점으로 하고 B에서 오른쪽으로 $L$ 떨어진 AB에 평행인 직선을 준선으로 하는 포물선임을 쉽게 알 수 있다.

케플러 1법칙에 의해서 미사일은 지구 중심을 한 초점으로 하는 타원궤도를 움직인다. 타원궤도 운동을 하는 물체의 역학적 에너지는 타원의 장반경이 작을수록 낮아진다: $E_{ellipse} = -\frac{GMm}{2a}$. 발사지점과 북극이 타원 위에 있다는 사실을 사용하자. 타원의 성질에 의해서 1 초점인 지구 중심에서 북극(또는 발사지점)까지 거리와 북극(또는 발사지점)에서 2 초점까지 거리 합이 장반경의 2배이다. 중심에서 북극/발사지점까지 거리는 지구 반지름으로 고정되어 있으므로 장반경을 줄이기 위해서는 북극/발사지점에서 2초점까지 거리가 최소가 되어야 한다. 기하학적으로 2 초점이 북극과 발사지점을 연결하는 중간(위도 45상)에 있으면 된다. 이 경우 장반경은 $2a =R + R\cos(45^\circ) = R(1+1/\sqrt{2})$로 주어진다. 따라서 역학적 에너지 보존을 쓰면 최소 속력을 구할 수 있다:

$$ \frac{1}{2}mv_{min}^2 -\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{ R(1+1/\sqrt{2})}.$$

foci = {{0, 0}, {1/2, 1/2}};
a = (Sqrt[2] + 1)/(2 Sqrt[2]);
{{x1, y1}, {x2, y2}} = foci;
d = EuclideanDistance @@ foci;
ParametricPlot[{{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2} + {a/d (x2 - x1) Cos[t] + 
     Sqrt[a^2/d^2 - 1/4] (y1 - y2) Sin[t],  a/d (y2 - y1) Cos[t] + 
     Sqrt[a^2/d^2 - 1/4] (x2 - x1) Sin[t]}, {Cos[t], Sin[t]}}, 
     {t, 0, 2 Pi}, Epilog -> {RGBColor[1, 0, 0], Point[foci]}]