Geometry & Recognition

지구 내부에서 중력장은 $\vec{g}= -\frac{GM}{R^3}\vec{r}$임은 쉽게 알 수 있다. 이 중력장이 오른쪽 절반에 작용하는 힘을 구하면 (쉽게 입자들의 모임으로 생각하자)

$$ \vec {F}_\text{right} = \sum_\text{right} m_i g(\vec{r}_i) = - \frac{GM}{R^3} \sum_\text{right} m_i \vec{r}_i $$

$\sum_\text{right} m_i \vec{r}_i$는 오른쪽 반구의 질량중심과 질량으로 표현이 가능한데, 그 결과(https://kipl.tistory.com/407)는 $\frac{M}{2} \frac{3}{8}R\hat{i}= \frac{3}{16} MR \hat{i}$ 이다($x$ 축=수평). 따라서 

$$ \vec{F}_\text{right} = - \frac{3}{16}\frac{GM^2}{R^2} \hat{i}$$이고, 이 힘은 왼쪽 절반이 오른쪽에 작용하는 중력과 오른쪽 절반이 오른쪽 절반에게 주는 중력의 합이다. 그런데 오른쪽 절반이 만드는 중력장에 의해서 오른쪽 절반이 받는 힘은 항상 작용-반작용의 짝을 가지므로 전체를 합하면 0이 된다. 즉, $\vec{F}_\text{right}$는 왼쪽 절반이 오른쪽 절반에게 주는 중력만 기여한다. 

막대를 미소길이로 나누어서 각 부분의 운동에너지를 합하면 된다. 아래쪽을 수직 원점으로 잡으면 속도는 $v(y) = v+ v\frac{y}{L} ~(0\le y \le L)$로 변한다. 따라서 

$$K = \int_0^L \frac{1}{2} v(y)^2dm= \int_0^L \frac{1}{2} v^2(1+y/L)^2 \frac{m}{L} dy=\frac{7}{6} mv^2 $$

또는 막대는 아래 끝에서 $L$ 떨어진 지점을 기준으로 순간적으로 회전을 한다. 그 지점에 대한 회전관성은 $I_{AOIR} = \frac{1}{12}mL^2+ m(L+L/2)^2=\frac{7}{3}mL^2$이고, 각속도는 $\omega = v/L$이므로

$$ K = \frac{1}{2} I_{AOIR}\omega^2 =\frac{7}{6}mv^2$$