Geometry & Recognition

$$I = \int_{0}^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2 + 1}dx=\frac{\pi^3}{8}$$

복소평면에서 함수 $f(z) =\frac{(\log z)^2}{z^2 + 1}$를 고려하자. $z=0, \infty$가 $f(z)$의 두 branch point이므로 $+x$축을 cut line으로 선택하고 그림과 같은 contoure을 따라 적분을 하자. $z=\pm i$는 $f(z)$의 두 simple pole이다.

$C_\epsilon$에서 적분은 $z=\epsilon e^{i \theta},~\theta:\pi\to 0$로 표현하면 

$$ \int_{C_\epsilon} f(z)dz  = \int_\pi^0 {(\log \epsilon e^{i \theta} )^2}{i \epsilon e^{i \theta} d \theta } \to 0$$

마찬가지로 $\frac{(\log R)^2 }{ R} \to 0~(R\to \infty)$이므로 $C_\infty$에서 적분은 

$$\int_{C_\infty} f(z) dz = 0$$

$C_1$에서 적분은 $z=xe^{i0}, ~x:0\to \infty$이므로 

$$ \int_{C_1} f(z) dz = \int_0^\infty \frac{(\log x)^2}{x^2 + 1} dx= I$$

$C_2$에서 적분은 $z=xe^{\pi i}, ~x: \infty\to0$이므로( $\int_0^\infty \frac{\log x}{x^2+1}dx=0$)

\begin{align} \int_{C_2} f(z) dz &= \int _{\infty}^0 \frac{(\log x + \pi i )^2 }{x^2 + 1} e^{i \pi }dx \\ &= I + 2\pi i \int_\infty^0 \frac{\log x}  {x^2+1} e^{i\pi}dx -\pi^2 \int_\infty^0 \frac{dx}{x^2+1} e^{i\pi}dx \\   &= I + 0 - \frac{\pi^3}{2}\end{align}

Contour가 $z=i$ 포함하므로 residue 정리에 의해서 

$$ \int_{C_\epsilon + C_1 +C_2 +C_\infty} f(z)dz= 2\pi i \times \frac{(i\pi/2)^2}{2i}=-\frac{\pi^3}{4}$$

이므로 

$$ I = \int_0^\infty \frac { (\log x)^2 }{x^2+1} = \frac{\pi^3}{8}$$

여러 가지 함수를 Fouries series로 재구성할 때 적은 수의 부분합으로도 함수의 원래 모양이 잘 재현되는 경우가 있는 반면에 아무리 많은 항을 더하더라도 재현되지 않는 경우도 있다. 왜 이런 차이가 생기는 것일까? 급격한 모양의 변화가 없는 연속함수에 비해 중간에 값이 점프하는 불연속점이 있는 함수는 Fourier series로 전개를 했을 때 함수의 원래 모양이 잘 재현되지 않는다. 불연속점 전후로 값이 큰 쪽에서는 overshoot가 발생하고, 값이 작은 쪽에서는 undershoot가 발생한다. 이 돌출부는 Fourier series의 부분합의 개수를 늘리더라도 없어지지 않는다. 이처럼 불연속점에서 Fouries series에서 overshoot 또는 undershoot가 발생하는 현상을 Gibbs phenomenon이라 한다. 이는 불연속점에서 직교 고유 함수 전개를 할 때도 나타나는 일반적인 현상이다. 

구체적으로 다음 식으로 표현이 되는 square wave

\begin{gather}f(x)=\left\{ \begin{array}{cc}1, &  0<x <\pi \\ 0 , & x=0, \pm \pi \\ -1, & -\pi <x <0\end{array}\right. \end{gather}

을 아래처럼 홀수의 harmonics을 순차적으로 더해서 근사하는 경우를 살펴보자. 

\begin{gather}f_{k}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{j=1}^{k} \frac{ \sin (2j-1)x}{2j-1}=\frac{4}{\pi}\left(\sin (x) + \frac{\sin 3x}{3} + \cdots + \frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}\right) .  \end{gather}

$k\to\infty$이면 Fourier 전개에 해당한다. 이 합은 $f(x)$의 불연속점인 $x=0, \pm\pi$을 제외한 영역에서 square wave $f(x)$로 균일하게 수렴한다. 이는 $k$를 증가시키면 불연속점 근방을 제외한 영역에서 부분합 $f_{k}(x)$의 그래프가 square wave의 그래프에 한없이 가깝게 접근함을 의미한다. 그러나 harmonics의 개수를 증가시키더라도 불연속 근방에서 돌출부의 overshoot나 undershoot의 세기는 변하지 않는다. 다만 $k$를 증가시키면 그 폭은 점점 불연속점을 향해 좁아진다. 불연속점$(x=0)$을 기준으로 좌우에서 첫째로 나타나는 극대/극소값의 크기는 $|f(0)+ \frac{f(0^+)-f(0^-)}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x} dx|$로 계산된다. 이 값과 $f(0^\pm)$과의 차이의 절반인 

$$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac {\sin (x)}{x} dx -\frac {1}{2}= 0.0894898\dots$$가 불연속점 $x=0$에서 overshoot나 undershoot의 세기에 해당한다. 이 값은 Wilbraham-Gibbs 상수로 불린다.

Catenary는 여러 가지 놀라운 특징을 가지고 있는데 그중 하나가 포물선을 직선 위에서 굴릴 때 초점이 그리는 자취의 모양도 준다는 점이다. 포물선을 직선 위에서 굴리면 포물선 상의 각 점들은 회전과 동시에 병진 운동을 한다. 포물선의 초점이 어떻게 변화는 보기 위해서 구체적인 포물선을 사용하자. 포물선이 $4a y = x^2$으로 쓰면 초점은 $(0, a)$으로 주어진다. 포물선의 구름을 기술할 때는 매개변수를 사용하는 것이 편리하다. 꼭짓점에 해당하는 매개변수 값을 $t=0$으로 잡으면 포물선의 임의의 점은

$$ (x, y ) = (2a t,  at^2)$$

표현할 수 있다. 굴림에 의해서 포물선 상의 한 점 $(x=2at_1, y=at_1^2)$가 $x$-축 위에 놓이게 되었다고 하자. 이때 회전각은 구르기 전 접선의 기울기에 해당하는 각 $\psi = \tan^{-1}(dy/dx)$ 이다 (그림 참조).

이 과정은 접점 $(x,y)$를 회전축으로 해서 초점의 변위 벡터 $(0,a)^T - (x, y)^T$를(그림의 붉은 화살표)는 시계방향으로 회전시킨 후(왼쪽 녹색 화살표), 원점에서 접점까지의 곡선 길이 $s$만큼 $x$축으로 평행이동시키면 된다(오른쪽 파란색 화살표). 곡선의 길이는 매개변수로 표현하면

$$s= \int_0^{t_1} \sqrt{  (2a)^2 + (2at')^2 } dt' = a(  t_1 \sqrt{1+t_1^2} + \sinh^{-1}(t_1)),$$

이다. 시계방향으로 회전행렬은

$$ \mathbf{R}(\psi) =  \begin{pmatrix} \cos\psi & \sin \psi  \\ -\sin\psi & \cos \psi\end{pmatrix}  ,\quad \tan\psi = \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} = t_1 $$

로 표현할 수 있다. 따라서, 이 굴림에 의해서 초점의 위치는

$$ \left(\begin{array}{c} X\\Y\end{array}\right) = \mathbf{R} .\left( \begin{array}{c} 0 - 2at_1 \\ a- at_1^2 \end{array}\right) +   \left( \begin{array}{c} s  \\ 0 \end{array} \right)$$

로 옮긴다. 이를 정리하면 다음 식을 얻는다.

$$ X= a\sinh^{-1}(t_1),\quad Y = a \sqrt{1+t_1^2}$$

이 식에서 $t_1$을 소거하면 초점의 자취가 catenary임을 명확히 볼 수 있다.

$$ Y= a \cosh (X/a)$$

구르는 포물선의 꼭짓점의 자취는 

$$ X=- \frac{at}{\sqrt{1+t^2}} + a\sinh^{-1}(t), \quad Y= \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$$

처럼 주어진다. 따라서 초점과 꼭짓점을 알므로 구르는 포물선도 쉽게 그릴 수 있다.