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무거운 강철공(M)과 가벼운 강철공(mM)이 거의 접촉한 채로 h 높이에서 떨어진 후 단단한 바닥에 충돌한다. 이후 가벼운 강철공이 날아가는 속도는(방향, 빠르기)? 단, 모든 충돌은 탄성적이다.

 

힌트: 무거운 공이 바닥에 충돌하기 직전 두 공의 속도는 동일한 v=2gh이다. 무거운 공은 바닥에 탄성충돌 후 위쪽 방향으로 동일한 속력 v()으로 아래로 내려오는 가벼운 공과 2차충돌한다. 두 공의 질량 차이가 크기 때문에 2차 충돌 후 무거운 공의 속도는 충돌 직전과 달라지지 않는다고 가정해도 된다. 그리고 두 공 사이의 충돌이 탄성적이라고 했으므로 충돌 직전의 상대속도와 충돌 직후의 상대속도 크기는 변하지 않는다. 충돌 과정에 가벼운 공은 두 공의 중심을 잇는 선분방향으로 내력을 받으므로 그 방향의 속도 성분()이 변한다: V

충돌 직전 상대속도:  vcosθ(vcosθ)=2vcosθ

충돌 직후 상대속도:  Vvcosθ

따라서  V=3vcosθ=22ghcos30=6gh이므로 가벼운 공의 충돌 후 속력은 

vlight=V2+v2sin2θ=132gh

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반지름 R인 반구 꼭대기에 같은 질량의 물체가 놓여 있다. 마찰이 없을 때 수평 방향 충격을 살짝 주면 물체는 반구를 따라 미끄러지기 시작하고 반구는 반대로 밀리기 시작한다. 물체가 일정한 거리를 내려온 후 반구와 접촉이 없어지게 되는 데 어느 위치인가?

 

힌트(https://kipl.tistory.com/629): 물체가 수직방향에서 각도 θ 만큼 내려왔을 때 반구에서 떨어진다면, 이 순간 물체가 반구에 작용하는 수직항력은 0이 되고 이후 반구는 일정한 속도로 움직인다. 이 순간 반구의 왼쪽 방향 속도를 V, 그리고 물체의 접선방향 속도를 u(반구에서 보는 물체의 속도)라고 하자. 물체는 반구를 따라 원운동을 하므로 반구와 같이 움직이는 관찰자 입장(물체가 떨어지는 순간부터 관성계임)에서 순간적으로 원운동을 하는데, 수직항력이 사라지는 지점이므로 구심력은 중력의 중심성분 뿐이다.

mgcosθ=mu2R    u2=Rgcosθ

수평방향 외력이 없으므로 운동량 보존법칙을 적용하면

mV=m(ucosθV)      V=12ucosθ

또한 역학적에너지가 보존되므로 

mgR(1cosθ)=12mV2+12m(u2+V22uVcosθ)

   2gR(1cosθ)=2V2+u22uVcosθ

미지수가 V, u, θ 인데 식이 3개 있으므로 풀 수 있다. 정리하면

cos3θ6cosθ+4=0

   cosθ=31   or   θ=42.94

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그림과 같이 3 물체가 줄(전체 길이=2L)로 연결되어 있다. 물체 M에 충격을 주어 줄에 수직한 방향으로 V의 속도로 움직이기 시작한다. 질량 m인 두 물체가 충돌하기 직전 줄에 걸리는 장력은?

힌트: 외력이 없으므로 운동량이 보존된다. 충돌 직전 두 물체의 수직 속도 성분 v은 같아야 하고, 수평성분의 크기(v||)도 같아야 한다. 운동량 보존에 의해서 

y:   MV=(M+2m)v      v=11+2m/MV

역학적에너지 보존에 의해서

12MV2=12Mv2+m(v2+v2||)      v||=11+2m/MV

충돌 직전 M의 가속도를 a(아랫방향), 줄의 장력을 T라면 

a=2TM

이고 M과 같이 움직이는 관찰자(비관성계) 입장에서 두 질량 m은 충돌직전 순간적으로 원운동을 한다. 이 때 작용하는 구심력은 장력과 관성력(위쪽방향)의 합이다.

T+ma=mv2||L      T=m(1+2m/M)2V2L 

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