Geometry & Recognition

질량 $M$이고 반지름 $R$인 별이 있다. 별 자체 중력은 별을 구성하는 물질을 중심 쪽으로 압축하는 힘으로 작용한다. 별이 한 점으로 붕괴되지 않기 위해서는 이 중력의 압축에 저항하는 압력이 있어야 한다. 별의 물질이 균일하게 분포한다면 이 압력은 중심에서 거리만의 함수일 것이다. 압력 $P(r)$은 어떻게 주어지는가? 

풀이: 반지름 $r$이고 두께가 $dr$인 별 내부의 미소구각를 고려할 때 안쪽에서 받는 압력($P(r):\text{outward}$)과 바깥쪽에서 받는 압력($P(r+dr):\text{inward}$)에 의한 힘의 차이가 구각에 작용하는 중력과 같아야 평형상태를 유지할 수 있다.

$$\sum F_r=[-P(r+dr)+P(r)]4\pi r^2-G\frac{\frac{4\pi r^3\rho }{3}\times (4\pi r^{2}dr\rho )}{r^2}=0$$

$$\to -\frac{dP}{dr}=\frac{4\pi G{\rho }^2}{3}r\text{and}P(R)=0$$

$$\therefore P(r)=\frac{2\pi G\rho }{3}(R^2-r^2)=\frac{3G{M}^2}{8\pi R^4}[1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2]$$

압력은 어느 방향에나 작용하므로 이를 적도면에 적용하면 별을 절반으로 나누었을 때 서로 밀어내는 압력을 찾을 수 있고, 이 값은 별의 반쪽이 나머지 반쪽을 잡아당기는 힘과 같다.

$$F_c={\int }_0^{R}P(r)2\pi rdr=\frac{3G{M}^2}{16R^2}$$

그리고 적도면을 4등분할 때 각 부분에 작용하는 힘은 대칭성에 의해 $F_c/4$이다. 별을 8 분할할 때 한 부분이 나머지 부분에서 받는 중력은 따라서

$$F=\frac{F_c}{4}|\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}|=\frac{\sqrt{3}}{4}{F}_c$$

반지름 $R$인 반구의 꼭대기부터 길이 $\ell$인 줄이 걸쳐 있게 잡고 있다가 놓았다. 운동을 시작하는 시점에 줄의 어느 부분에 걸리는 장력이 가장 클까? 단, 마찰은 없고, 줄의 단위길이당 질량은 $\lambda$이다.

풀이: 줄에 걸리는 중력이 반구의 중심에 대한 토크를 만들어 줄이 미끄러지게 한다. 각 $\theta$ 근처의 미소 부분에 작용하는 중력이 만드는 토크가 

$$d\tau =(gdm\sin \theta )R$$

이고,  미소질량이  $dm=\lambda Rd\theta$이므로 다 더하면

$$\tau ={\int }_0^{\ell /R}\lambda g{R}^2\sin \theta d\theta =\lambda g{R}^2(1-\cos \frac{\ell }{R})$$

줄의 회전관성은 $I=m{R}^2=\lambda \ell R^2$이므로 회전각가속도는

$$\alpha =\frac{\tau }{I}=\frac{g}{\ell }(1-\cos \frac{\ell }{R})$$

다시 미소 부분에 작용하는 접선방향의 가속도는 양끝에서 장력의 차이와 중력의 접선성분이 있다. 접선방향 운동방정식은

$$\sum F_t=dT+dmg\sin \theta =dma,a=R\alpha$$

$$\to dT=\lambda Rd\theta (a-g\sin \theta )$$

을 얻는데 장력의 최댓값은 $dT/d\theta =0$인 위치다. 즉,

$$\frac{dT}{d\theta }=\lambda R(a-g\sin \theta )=0$$에서

$$\theta ={\sin }^{-1}\frac{a}{g}={\sin }^{-1}\left[\frac{R}{\ell }(1-\cos \frac{\ell }{R})\right]$$

줄의 짧은 경우 $\sin \theta \approx \theta$, $\cos \frac{\ell }{R}\approx 1-\frac{1}{2}(\frac{\ell }{R}{)}^2$이므로

$$\theta \approx \frac{\ell }{2R}$$

을 얻는 데 줄의 중간지점에서 장력이 가장 큼을 알 수 있다.

그림처럼 질량이 같은 두 물체가 접촉하고 있고, 모든 접촉면과의 마찰은 무시할 수 있다. 두 물체가 접촉하고 있는 동안 가속도는?

힌트: 위의 물체(B)는 아래로 내려가는 운동을 하고(가속도 $a_B\downarrow$) 아래 물체(A)는 오른쪽으로 움직이게 된다(가속도 $a_A\to$). 두 물체가 접촉하고 있는 동안은 접촉면에 수직방향으로는 가속도가 같아야 한다. 

$$\text{접촉 조건:}{a}_A\sin \theta =a_B\cos \theta$$

두 물체계에 작용하는 수평외력은 B가 벽에서 받은 수직항력이 있는데, 이 힘이 두 물체의 질량중심의 수평방향 가속도를 준다.

$$N=(m+m)\frac{m{a}_A+m\cdot 0}{m+m}=m{a}_A$$

그리고 B의 경사면에 수직한 방향의 가속도 성분($\searrow$)은 

$$\sum F_{\searrow }=mg\sin \theta -N\cos \theta =m{a}_B\sin \theta$$

이제 3개의 미지수$a_A$, $a_B$, $N$와 식 3개가 있으므로 풀 수 있는데

$$a_A=g\sin \theta \cos \theta$$

$$a_B=g{\sin }^2\theta$$