Geometry & Recognition

마찰때문에 볼링공은 오른쪽 방향으로 충격량($J$)을 받는다. 볼링공의 병진운동이 멈추기 위한 충격량은 $J=mv$이다.  마찰은 회전운동에도 토크 충격량을 주는데, 회전이 멈추기 위한 조건은 $a J = I \omega$. 따라서 $v=\frac{I}{ma}\omega= \frac{2}{5} a \omega$. 마찰계수가 $\mu$일 때 정지할 때까지 걸리는 시간은 $t= v/(\mu g)$이다.

고정된 별을 향해 움직이는 경우 거리 $r$만큼 떨어진 위치에서 속력을 $v$라 하자. 두 별이 같이 움직이는 경우는 중력 위치에너지의 감소량을 두 별이 나누어 가지므로 $r$만큼 떨어진 위치에서 속력은 $v/\sqrt{2}$이다. 따라서 한 별에 대한 상대속력은 $\sqrt{2}v$이므로 같은 거리를 가는데 $\sqrt{2}$배 만큼 더 빨리 도달한다. 

충격 이후 외력이 없으므로 두 물체의 질량중심은 일정한 속도 $v_{cm} =  \frac{m_1}{m_1+m_2} v$로 움직이고, 두 물체는 질량중심을 기준으로 일정한 각속도 $v/D$로 회전한다. 질량중심과 같은 속도로 움직이는 관찰자가 보면 두 물체는 질량중심을 축으로 일정하게 회전한다. 두 물체가 출발시점과 동일한 상대적 위치를 가지면 $m_2$의 속도는 0이 됨을 알 수 있고, 이 때까지 걸리는 시간은 질량중심을 축으로 1회전하는데 걸리는 시간 $t=2\pi/(v/D)=2\pi D /v$이다.

평형상태의 용수철에 걸리는 힘을 각각 $T_1$, $T_2$라고 하자(당겨진 경우와 압축된 경우의 힘의 부호는 반대다). 옷걸이가 평형상태에 있으므로 두 용수철의 총 위치에너지는 최소인 상태이다. 옷걸이의 전체 길이를 미소 길이 $\Delta x$만큼 당기거나 압축을 하면 1번은 $ 2\Delta x/3$, 2번은 $\Delta x/3$만큼 길이가 변한다. 이 과정에서 위치에너지의 변화는 $T_1 \frac{2}{3}\Delta x+ T_2 \frac{1}{3} \Delta x$만큼 생기는데 평형위치에서 미소변화이므로 이 값은 0이 되어야 한다. 따라서 $|T_1/T_2| = 1 /2$이다.