Geometry & Recognition

세 개의 동일한 실린더가 같은 각속도로 회전을 한다. 실린더의 회전축은 모두 동일하다. 실린더의 축을 서로 가깝게 하여 그림의 오른쪽처럼 접촉하게 하였다. 일정한 시간이 흐른 후 세 실린더는 서로 미끄러짐이 없이 그림과 같이 회전을 한다. 이 과정에서 잃어버린 에너지는?

접촉 후 정상상태가 될 때 미끄러짐이 없으므로 각속도의 크기는 모두 같다. 시계방향을 기준으로 할 때 1번의 각속도를 $+{\omega }_0$라면 2번은 $-{\omega }_0$, 3번은 $+{\omega }_0$이다. 접촉과정에서 각각의 실린더의 각운동량이 변하는데 회전관성이 $I$라면 

$$1:I(\omega -{\omega }_0)=J_{12}$$

$$2:I(-\omega -{\omega }_0)=J_{21}+J_{23}$$

$$3:I(\omega -{\omega }_0)=J_{32}$$

그런데 접촉하는 두 실린더의 접촉면에서 힘은 작용-반작용이므로 방향이 바뀌지만 각 회전축에서 접촉면까지 변위도 반대 방향임과 접촉력에 의한 토크 충격량이 $\overrightarrow{J}=\int \overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}dt$임을 고려하면 $J_{ij}=J_{ji}$이다. 위에 주어진 식을 1+3-2 하면

$$I(3\omega -{\omega }_0)=0\to \omega =\frac{1}{3}{\omega }_0$$

따라서 

$$\frac{K_f}{K_i}=\frac{3\times \frac{1}{2}I{\omega }^2}{3\times \frac{1}{2}I{\omega }_0^2}=\frac{1}{9}$$

마찰이 없는 테이블 중앙에 있는 구멍을 통해 두 물체 A와 B가 줄로 연결되어 있다. B를 고정한 채 A를 일정한 각속도 ${\omega }_0$로 회전시킨다. 이때 구멍에서 A까지 거리는 $r_0$이다. 이제 B가 움직일 수 있게 놓아둔다면 그 순간 B의 가속도는?

힌트: 줄에 걸리는 장력을 $T$라면 B의 운동방정식은 

$$m_{B}g-T=m_B\ddot{z}(+z:\downarrow )$$

A의 운동은 radial 방향과 접선방향으로 운동으로 구분할 수 있는데 A에 작용하는 힘은 장력뿐이므로

$$-T=m_A(\ddot{r}-r{\omega }^2)\text{and}r\alpha +2\dot{r}\omega =0$$

A와 B는 줄로 연결되어 있으므로 $z+r=const\to \ddot{z}=-\ddot{r}$이므로 

$$\ddot{z}=\frac{m_{B}g-m_{A}r{\omega }^2}{m_A+m_B}$$

인데, $r\to r_0$, $\omega \to {\omega }_0$을 대입하면

$$\ddot{z}(0)=\frac{m_{B}g-m_A{r}_0{\omega }_0^2}{m_A+m_B}$$

A에 작용하는 외부토크가 없으므로 각운동량이 보존된다: $\omega r^2=const$. $r$에 대한 방정식으로 바꿔 쓰면

$$\ddot{r}=\frac{m_A{\omega }_0^2{r}_0^4/r^3-m_{B}g}{m_A+m_B}$$이 미분방정식을 수치적으로 풀 수 있다. $m_B$에 걸리는 중력은 구멍에서 $m_A$까지 길이를 짧게 하려고 하지만, 각운동량 보존때문에 줄이 짧아지면 centrifugal barrier가 높아지게 되므로 다시 길이가 늘어나는 운동을 반복한다. 이는 행성의 타원궤도 운동과 유사한 특성을 가진다.

그림처럼 회전축 가까이에 고리(질량 $m$)가 끼워져 있는 매끄러운 막대(길이 $L$, 질량 $M$)가 있다. 고리가 축 쪽에 있을 대 막대가 ${\omega }_0$의 각속도로 움직인다. 고리는 이후 막대와 같이 회전하면서 막대의 끝쪽으로 밀려나가는데, 막대 끝에 도달했을 때

1. 고리의 속력은?

2. 고리가 막대로 부터 받는 수직항력은?

풀이: 각운동량이 보존되므로 고리가 끝에 도달했을 때 각속도 $\omega$는 

$$L_i=\frac{1}{3}M{L}^2{\omega }_0=(\frac{1}{3}M{L}^2+m{L}^2)\omega =L_f\to \omega =\frac{{\omega }_0}{1+3m/M}$$

고리는 회전과 동시에 막대방향으로 나가는 속도(radial velocity$=u$)를 가진다. 역학적에너지 보존을 이용하면

$$\frac{1}{2}\frac{1}{3}M{L}^2\frac{1}{2}\frac{1}{3}M{L}^2{\omega }_0^2=\frac{1}{2}\frac{1}{3}M{L}^2{\omega }^2+\frac{1}{2}m((L\omega {)}^2+u^2)\to u=\frac{L{\omega }_0}{\sqrt{1+3m/M}}$$

이므로 고리의 속력은 

$$v=\sqrt{(L\omega {)}^2+u^2}=L{\omega }_0\frac{\sqrt{2+3m/M}}{1+3m/M}$$

이 순간 막대의 회전각가속도는 막대가 고리에 주는 수직항력을 $N$이라면 막대의 회전축에 대한 운동방정식은

$$-NL=\frac{1}{3}M{L}^2\alpha \to \alpha =-\frac{3N}{ML}$$

고리의 운동방정식은 회전과 동시에 radial 운동을 하므로 가속도는

$$\overrightarrow{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })\hat{\theta }$$인데 고리가 받는 radial 방향의 힘은 없고, 접선방향 힘은 수직항력이므로 운동방정식은

$$\ddot{r}=r{\dot{\theta }}^2\text{and}m(2\dot{r}\dot{\theta }+r\ddot{\theta })=N$$이 방정식의 해를 구할 수도 있지만 우리의 관심은 고리가 막대 끝에 도달했을 때($r=L$)이고, 이 경우 $\dot{r}=u$, $\dot{\theta }=\omega$, $\ddot{\theta }=\alpha$이므로

$$N=\frac{2mu\omega }{1+3m/M}=\frac{2mL{\omega }_0^2}{(1+3m/M{)}^{5/2}}$$