반지름 $R$인 속이 채워진 반구를 그림과 같이 천정에 매달아 놓았다. 반구면의 중심에서 연직선까지 그은 수선의 길이 $d$는 얼마인가? (물리적인 의미는?)
1. $R/8$
2. $R/4$
3. $3R/8$
4. $R/2$
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무게가 $W$인 원통형 물체의 절반이 잠긴 채 물에 떠 있다. 물체를 물에서 완전히 빼내기 위해 해주어야 할 일은? 단, 물이 담긴 용기의 단면적은 물체의 단면적의 $3$배이고 물체의 높이는 $H$다.
1. $WH/6$
2. $WH/4$
3. $WH/3$
4. $WH/2$
5. $WH$
물의 밀도를 $\rho$, 물체의 단면적을 $A$라면 처음 떠 있을 조건에서 $\rho g AH/2 = W$이다. 물체가 $x$만큼 올라가서 수면이 $y$만큼 내려간다면, 단면적의 차이가 2배(물이 채워지는 부분)이므로 $y=x/2$임을 알 수 있다. 따라서 물체가 잠겨있는 깊이는 $H/2 - (x+y)=H/2-3x/2$이고, 이에 따른 부력은 $F_b = \rho g A (H-3x)/2= \frac{W}{H}(H- 3x)$이다. 물체를 들어올리는 데 필요한 외력은 $F = mg - F_b = \frac{W}{H} 3x$. $x=H/3$일 때 물체가 물에서 완전히 빠져나오므로 필요한 최소의 일은
$$ \text{Work} = \int_0^{H/3} F dx = \frac{WH}{6}$$
임을 알 수 있다.
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가벼운(무게 무시) 공을 서서히 물 속으로 밀어넣어 바닥에 닿게 했다. 이 과정에서 해주어야 할 일은?
단, 공에 담길 수 있는 물의 무게는 $W$이고, 공이 잠긴 후 수면은 처음보다 $a$만큼 높아졌다.
1. $Wh$
2. $W(h-R)$
3. $W(h-R+a)$
4. $W(h-R+a/2)$
5. 정보 부족
힌트: 복잡한 계산없이도 알 수 있다.
바닥에 가라앉은 공이 밀어낸 물이 처음 수면 위의 물을 채웠다고 봐도 된다(나머지는 변함이 없다). 따라서 운동에너지를 생각하지 않으면 위치에너지 변화만 있고, 이동한 물의 무게중심이 $y=R$에서 $y=h+\frac{a}{2}$로 옮긴 것이므로 해준 일은
$$ \text{Work} = \Delta U = W \Big( h + \frac{a}{2} - R \Big)$$
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