Geometry & Recognition

외력은 수직방향의 힘 밖에 없으므로 질량중심은 수직운동만 한다. 그리고 가장 아래에 내려왔을 때 두 물체의 속도는 크기는 같고 ($v$) 방향(수평방향)은 반대이다). 이 순간 고리에 작용하는 알짜힘은 0이어서 가속도가 0이므로 고리와 같이 움직이는 좌표계에서 보면 줄에 매달린 물체는 왼쪽으로 $2v$의 속력으로 순간적인 원운동을 한다. 역학적 에너지 보존을 쓰면 $ v^2 =gL$임을 알 수 있고, 물체의 원운동식을 쓰면

$$ T-mg = m \frac{(2v)^2 }{L} ~~\text{고리 좌표계} \quad \therefore ~ T = 5mg$$

물의 저항이 외력으로 작용하므로 계(배+사람)의 질량중심 운동방정식을 쓰면,

$$M\frac{dv_{cm}}{dt} = \sum F_{ext} = - k v_{boat} = -k \frac{dy_{boat}}{dt}$$

로 쓸 수 있다. 양변을 적분하면, 질량중심의 속도는 처음에도 정지했고, 나중에도 정지했으므로

$$LHS=\int_{t_i}^{t_f} M\frac{dv_{cm}}{dt}dt = M[v_{cm}(t_f) - v_{cm}(t_i)]  =0$$

$$RHS = -k \int_{t_i}^{t_f}  \frac{dy_{boat}}{dt} dt = -k [ y_{boat}(f) - y_{boat}(t_i)]$$

이므로 배의 나중과 처음 위치는 같아야 한다. 물의 저항이 없는 경우는 일반적으로 질량중심이 움직이지 않아야 하므로 배는 처음 위치에서 왼쪽으로 이동하게 된다.

얼음 언덕의 질량=물체의 질량인 경우만 다루자. 언덕이 왼쪽으로 $u$의 속력으로 밀릴 때, 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕을 따라 원운동을 하므로 그 접선 속력을 $v$라 하자. 그러면 수평 운동량 보존에서 

$$ mu = m(v \cos \theta - u).$$

그리고 역학적 에너지 보존에서 (지상계) 

$$ mgR (1-\cos \theta) =\frac{1}{2} mu^2 + \frac{1}{2}m (u^2 +v^2 -2uv \cos \theta)$$

를 얻는다. 물체가 떠나는 시점에서 언덕은 더 이상 힘을 받지 않으므로 등속운동을 시작한다. 이 시점에서 얼음 언덕과 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체는 언덕에서 원운동을 끝내는 시점이다(수직항력=0 $\rightarrow$ 관성계). 따라서 구심력 역할은 중력의 중심성분이 한다.

$$ mg \cos \theta  =\frac{mv^2}{R}.$$ 

위 3 식을 정리하면

$$\cos^3 - 6\cos \theta +4 =0$$을 얻고, 근은 $$\cos \theta = \sqrt{3}-1 \quad ~~\therefore~ \theta = 42.94^\circ$$

또는 직접 $v$을 구하면

$$v=\sqrt{ \frac{4gR(1-\cos \theta)}{2-\cos^2 \theta}}$$

이므로 수평성분 $v\cos \theta $의 최대가 되는 각을 구해도 같은 결과를 얻는다.