Geometry & Recognition

$$I = \int_{0}^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2 + 1}dx=\frac{\pi^3}{8}$$

복소평면에서 함수 $f(z) =\frac{(\log z)^2}{z^2 + 1}$를 고려하자. $z=0, \infty$가 $f(z)$의 두 branch point이므로 $+x$축을 cut line으로 선택하고 그림과 같은 contoure을 따라 적분을 하자. $z=\pm i$는 $f(z)$의 두 simple pole이다.

$C_\epsilon$에서 적분은 $z=\epsilon e^{i \theta},~\theta:\pi\to 0$로 표현하면 

$$ \int_{C_\epsilon} f(z)dz  = \int_\pi^0 {(\log \epsilon e^{i \theta} )^2}{i \epsilon e^{i \theta} d \theta } \to 0$$

마찬가지로 $\frac{(\log R)^2 }{ R} \to 0~(R\to \infty)$이므로 $C_\infty$에서 적분은 

$$\int_{C_\infty} f(z) dz = 0$$

$C_1$에서 적분은 $z=xe^{i0}, ~x:0\to \infty$이므로 

$$ \int_{C_1} f(z) dz = \int_0^\infty \frac{(\log x)^2}{x^2 + 1} dx= I$$

$C_2$에서 적분은 $z=xe^{\pi i}, ~x: \infty\to0$이므로( $\int_0^\infty \frac{\log x}{x^2+1}dx=0$)

\begin{align} \int_{C_2} f(z) dz &= \int _{\infty}^0 \frac{(\log x + \pi i )^2 }{x^2 + 1} e^{i \pi }dx \\ &= I + 2\pi i \int_\infty^0 \frac{\log x}  {x^2+1} e^{i\pi}dx -\pi^2 \int_\infty^0 \frac{dx}{x^2+1} e^{i\pi}dx \\   &= I + 0 - \frac{\pi^3}{2}\end{align}

Contour가 $z=i$ 포함하므로 residue 정리에 의해서 

$$ \int_{C_\epsilon + C_1 +C_2 +C_\infty} f(z)dz= 2\pi i \times \frac{(i\pi/2)^2}{2i}=-\frac{\pi^3}{4}$$

이므로 

$$ I = \int_0^\infty \frac { (\log x)^2 }{x^2+1} = \frac{\pi^3}{8}$$

update:2024.10.28

$$ I =  \text{Pr}\int_{-1}^1 \sqrt{ \frac{1+x}{1-x}} \frac{1}{(2-x)x} dx$$

복소함수 

$$f(z)=\left(\frac{1+z}{1-z} \right)^{1/2}\frac{1}{(2-z)z}$$

의 contour $\Gamma$에 대한 적분을 고려한다. $z=\pm1$이 branch point이고, $z=0,2$은 simple pole이다. cut line은 그림처럼 잡고, 위상은 $$0 \le  \arg(z+1) \le 2\pi,\quad  -\pi \le \arg(1-z)\le \pi $$로 선택한다.

residue 정리에 의해서 

$$ \int_\Gamma f(z) dz = \left(\oint_{C_\infty} - \sum \int _{C_i}   \right)f(z) dz = 2\pi i \times \text{Res}(z=2) = \sqrt{3} \pi  \\ \to ~~ \sum  \int_{C_i} f(z) dz =- \sqrt{3}\pi $$

$C_1$: $z+1=\epsilon e^{i \theta}$ $$\int_{C_1} f(z)dz = O(\sqrt{\epsilon}\epsilon)\rightarrow 0$$  

$C_5$: $z-1=\epsilon e^{i \theta}$ $$\int_{C_5} f(z)dz = O(\sqrt{\epsilon})\rightarrow 0$$  

$C_3$: $$z=\epsilon e^{i \theta}~(\theta: \pi \rightarrow 2\pi)\\z+1= e^{i2\pi}\\z-1= e^{-i\pi}\to 1-z= e^{i0}$$이므로

$$\sqrt{\frac{1+z}{1-z}} =\sqrt{\frac{e^{i2\pi }}{e^{i0}}} = e^{i \pi}  \\ \to \quad \int_{C_3} f(z) dz = e^{i \pi}   \int_{\pi}^{2\pi}  \frac{i \epsilon e^{i\theta}}{2\epsilon e^{i \theta}} d\theta =- i \frac{\pi}{2}.$$ 

$C_7$:  $$z=\epsilon e^{i\theta}~(\theta:0 \rightarrow \pi)\\z+1=e^{i0}\\ z-1= e^{i\pi} \to 1-z = e^{i0}$$이므로

$$\sqrt{\frac{1+z}{1-z}} =\sqrt{\frac{e^{i0}}{e^{i0}}} = 1 \\ \to \quad \int_{C_7} f(z) dz =  \int_0^\pi  \frac{i\epsilon e^{i \theta}}{2\epsilon e^{i \theta}} d\theta =i \frac{\pi}{2} $$

$C_2 + C_4$: $$z+1= (x+1) e^{2i \pi }~(x: -1 \rightarrow  1) \\z-1=(1-x)e^{-i\pi} \to 1-z=(1-x) e^{i0}$$이므로

$$\int_{C_2 + C_4} =  e^{i \pi}  \int_{-1}^{1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\frac{dx}{(2-x)x}=-I.$$

$C_6 + C_8$: $$z+1= (x+1) e^{i 0}~(x:  1 \rightarrow -1)\\z-1=(1-x)e^{i\pi} \to 1-z=(1-x)e^{i 0}$$이므로

$$\int_{C_6 + C_8}  = \int_{1}^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\frac{dx}{(2-x)x}= - I$$

$C_\infty$: $z= R e^{i \theta}$ $$ \int_{C_\infty} f(z)dz = O( 1/R) \rightarrow0.$$

이 결과를 모두 정리하면,

$$ I =\text{Pr} \int_{-1}^1 \sqrt{\frac{1+x }{1-x}} \frac{dx}{(2-x)x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi.$$

$$I= \int_c^\infty \frac{dx}{x^2 - 1} \quad(c > 1)$$

복소함수 $f(z)= \frac{\log(z-c) }{ z^2 -1}$을 그림의 contour을 따라 적분을 한다. $z=c, \infty$가 branch point이므로 $x>c$인 $x$축을 따라 cut line을 설정한다: $0 \le \arg(z-c) \le 2\pi$. 또, $z=\pm 1$은 simple pole이다.

$C_2$:  $x-c=\epsilon e^{i\theta}$로 매개화하면 $$ \int f(z) dz = O( \log(\epsilon) \epsilon ) \rightarrow 0.$$$C_1$: $z-c = (x-c) e^{i 2\pi}~(x: \infty \rightarrow c)$이므로,$$ \int_{C_1} f(z) dz = \int_\infty ^c \frac{\log(x-c) + 2\pi i}{x^2 -1}dx = -\int_c^\infty \frac{\log(x-c) + 2\pi i }{x^2 - 1}dx $$$C_3$: $z-c= (x-c) e^{i 0} ~(x: c \rightarrow \infty)$이므로,$$ \int_{C_3} f(z) dz = \int_c^\infty \frac{\log( x-c) }{x^2 - 1} dx $$ $C_\infty$: $z = Re^{i \theta}$로 매개화하면, $$\int f(z) dz  = O( \log(R) /R ) \rightarrow   0$$ 따라서, $$\int_{\Gamma}  f(z) dz= 2 \pi i \times  \big[\text{Res}(z=1) + \text{Res}(z=-1) \big] =2 \pi i \times  \left[ \frac{\log (c-1)}{2} + \frac{ \log(c+1)}{-2}\right]$$

정리하면,

$$\int_c^\infty \frac{dx}{x^2 -1} = \log\sqrt{\frac{c+1}{c-1}}$$

물론 $\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$임을 이용하는 것이 더 쉽다.