Geometry & Recognition

탁자의 모서리에 똑바로 서 있는 막대가 있다. 이 막대에 작은 충격을 주면 모서리를 축으로 회전을 하다가 떨어진다(막대 끝이 회전할 수 있게 되어야 함). 막대가 모서리를 떠나는 각 $\theta_c$는? 마찰은 무시한다.

둥근 얼음 언덕 위에서 출발하는 물체가 얼음 언덕을 떠나는 위치는 수평 속도 성분$(v_x)$이 최대가 되는 지점이다. 물체가 받는 수직항력 때문에 속도의 수평 성분은 증가한다. 따라서 수직항력이 사라지게 되면 물체의 수평 성분의 변화가 없어지기 때문에 그 지점에서 최댓값이 된다. 얼음 언덕의 반지름을 $R$이라면 역학적 에너지 보존에서

$$ v = \sqrt{2gR(1-\cos \theta)   }$$을 얻으므로 수평 성분은

$$ v_x = \sqrt{2gR(1-\cos \theta)} \cos \theta$$

로 주어진다. $dv_x/d\theta = 0$을 찾으면

$$ \cos\theta = \frac{2}{3} \quad (\theta = 48.19^\circ)$$으로 주어진다.

얼음 언덕이 놓인 바닥이 매끄러운 경우는 어떨까? 물체가 내려가면 언덕도 왼쪽으로 밀리게 된다. 이 경우 물체가 언덕을 떠나는 각은 어떻게 변할까?

일정한 속도$(u)$로 달리는 기차 안에 있는 높이 $h$인 경사면이 있다. 경사면의 꼭대기에서 내려오는 물체가 바닥에 도착하기 직전 기차 안의 정지한 관찰자가 보는 속력$(v)$과 지상의 정지한 관찰자가 보는 속력 $w$를 비교해 보자.

1. 기차 안의 정지 관찰자;

$$mgh = \frac{1}{2} mv^2 ~\longrightarrow ~ v= \sqrt{2gh}$$

2. 지상의 정지한 관찰자: 처음 물체는 $h$ 높이에서 오른쪽으로 $u$의 속력으로 움직이고 있다가 바닥에 도착하기 직전에는 $w$의 속력으로 가진다. 역학적 에너지 보존을 쓰면

$$mgh + \frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} mw^2 ~ \longrightarrow~ w = \sqrt{2gh + u^2}$$

3. 그런데 두 관찰자가 보는 물체의 속도가

$$ \vec{w} = \vec{v} + \vec{u}$$

(지상에서 볼 때는 기차 안에서 물체의 속도에 기차 속도가 벡터적으로 더해진다)로 연결되므로 이 식을 이용해서 $w$를 구하면

$$w = | \vec {v} + \vec{u}| = \sqrt{v^2 + u^2 -2uv \cos \theta} = \sqrt{2gh + u^2 - 2uv \cos \theta}$$

이므로 앞의 결과와 다르다.

역학적 에너지 보존법칙은 관찰자에 따라 달라지는가? (그럴 수는 없다) 무엇을 간과하고 있을까? 또, 어느 식이 옳은 식인가? 잘 생각해보면 이유를 알 수 있다.