Geometry & Recognition

두께가 $d$인 유리창 너머로 보이는 벌레까지 거리(겉보기 거리)는 실제 떨어진 거리와 얼마나 차이가 날까? 유리의 굴절률은 $n$이다.

풀이:  벌레($x$)에서 나와서 눈에 들어가는 2개 이상의 광선을 고려하자. 유리창에 수직입사한 빛은 굴절이 없이 그대로 통과하지만 비스듬히 입사하는 광선은 유리창에서 굴절이 된 후 눈에 들어간다. 이때 눈에 들어오는 광선방향의 연장선이 수직입사한 광선과 만나는 지점($x'$)에 벌레가 있다고 사람은 인식을 하게 된다. $\theta$의 입사각으로 유리창에 입사한 빛이 $\theta'$으로 굴절될 때 이 빛은 유리창을 나오면 눈에 $\theta$의 각으로 들어간다. 이 광선의 굴절에 대해 Snell의 법칙을 적용하면 

$$ \sin \theta = n \sin \theta'$$인데 눈에 들어오는 광선은 $|\theta|,~|\theta'| \ll 1$이므로 (그림은 매우 과장되게 그린 것이다) $\sin \theta \approx \theta$, $\sin \theta' \approx \theta'$ 근사할수 있고 스넬의 법칙은$$ \theta \approx n \theta'$$로 쓸 수 있다. 이제 그림에 그려진 기하학적인 관계를 고려하면 (이 경우도 $\tan \theta \approx \theta$, $\tan \theta' \approx \theta'$ 근사를 사용할 수 있다)$$ h = x' \tan \theta$$ $$h = (x-d) \tan \theta +d \tan \theta'$$

따라서 $$ (x-x') \theta \approx d ( \theta - \theta') = d\left( 1 - \frac{1}{n}\right) \theta $$

$$ \to ~~~~x-x' \approx   d \left(1 - \frac{1}{n}\right) $$

임을 알 수 있다. 유리가 없는 경우는($n=1$) 당연히 차이가 없고( $x'=x$), 유리의 굴절률이 커지면 점차 유리창 두께만큼 차이가 난다.

인간 눈의 시야각은 180도를 넘기 때문에 지상에서 하늘을 보면 (시야를 가리는 방해물이 없다면) 무한히 넗게 보인다. 그럼 잔잔한 호수에 잠수해서 하늘을 쳐다보면 어떻게 보일까? 우리가 물체를 본다는 것은 그 물체에서 나오거나 반사된 빛이 우리 눈으로 들어옴을 의미한다. 그런데 공기 중에서 직선으로 진행하던 빛이 물속으로 들어오면 경로가 꺾이게 된다. 이는 Snell의 법칙으로 기술이 되는데 수면에 수직한 방향에 대해서 $\theta_\text{air}$으로 공기 중에서 물속으로 들어오는 빛은 $\theta_\text{water}$만큼 꺾여서 물속에서 진행하는데, 물의 굴절률을 $n_\text{water}$라 하면 수식으로는 

$$ \sin \theta_\text{air} = n_\text{water} \sin \theta_\text{water}$$으로 표현된다. 물의 굴절률이 $n_\text{water}\approx 1.333$ 정도 이므로 하늘에서 다양한 각도로 수면에 입사해서 사람의 눈에 들어오는 빛을 생각해 보면 항상 $\theta_\text{water} < \theta_\text{air}$임으로 알 수 있다. 특히 수면에 거의 나란하게 들어오는 빛($\theta_\text{air}=90^\circ$)은 물속에서는 

$$ \theta_\text{water} = \sin^{-1} \frac{1}{n_\text{water}} \approx 49^\circ$$로 들어오는 것으로 보인다.

사람은 자신의 눈에 들어오는 빛의 방향으로 물체의 위치를 파악하므로 물속에서는 하늘과 지상의 경계가 마치 자신의 눈에는 $49^\circ$에 있는 것으로 인식하게 된다. 호수가 충분히 넓다면 모든 방향의 수면에 나란하게 들어오는 빛은 $49^\circ$로 들어오는 것으로 인식하므로 물속에서는 하늘이 둥근 원안에 있는 것으로 보이게 된다. 그 각도 바깥은 수면에서 전반사 현상에 의해서 (충분히 맑은 물이라면) 호수 내부의 모습이 보이게 된다. 눈이 수면에서 $d$만큼 아래에 있다면 하늘은 반지름이

$$ R \approx   d \tan 49^\circ$$

인 원 내부에 있는 것으로 보일 것이다. 역설적이게도 수면에 가까이 있을수록 하늘이 더 작게 보인다.

Fermat의 원리는 빛이 한 지점에서 다른 지점으로 진행할 때 가장 시간이 적게 드는 경로를 따라 움직인다고 이야기하고 있다. 광속은 굴절률이 큰 곳에서 작아지므로 굴절률이 다른 두 지점을 통과하는 빛의 경로는 되도록이면 광속이 큰 곳을 오래 머무르는 경로를 선택하는 것이 시간상 유리하다. 따라서 매질의 경계면에서 진행방향이 꺾여야 된다. 구체적으로 광속이 $v_1$인 매질에서 $v_2$인 매질로 빛이 진행할 때 입사각  $\alpha_1$,  굴절각 $\alpha_2$인 경우  

$$ \frac{ \sin \alpha_1 }{v_1}= \frac{\sin \alpha_2}{v_2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{v} {\sin \alpha} =\text{const}$$을 만족한다. 여기서 $\alpha$는 빛의 진행 방향을 매질 경계면에 수직인 방향에 대해 잰 각이다.

Fermat의 원리는 중력장에서 움직이는 물체에 대해서도 적용할 수 있다. 물체가 움직이면 중력 때문에 속력이 변하게 되므로 두 지점을 잇는 직선을 따라 움직이는 경로는 최단시간 경로가 되지 못한다. 구체적으로 한 지점에서 출발해서 처음보다 아래방향으로 $y$만큼  속력은 역학적 에너지 보존에 의해서 

$$  v^2 = 2gy$$

로 주어진다. 속력이 $y$값이 (아래로) 증가하면 빨라지므로 굴절률이 $\sqrt{y}\sim \sqrt{-U_\text{grav}}$에 반비례해서 연속적으로 감소하는 경우로 생각할 수 있다. 

물체가 움직이는 경로상의 한 지점에서 접선이 수평에 대해 $\theta$만큼 기울어진 경우 입사각은 $\frac{\pi}{2}-\theta$이고, $\cos \theta = dx/ds$이다. 따라서 스넬의 법칙은 (제곱을 해서)

$$ \frac{v^2 }{ \sin ^2(\frac{\pi}{2}- \theta)} = \frac{v^2 }{\cos^2 \theta} = \frac{ 2gy}{(dx/ds)^2 } = \text{const} = 4gr$$

로 쓸 수 있다. $4gr$은 상수이다. 곡선의 미소길이

$$ ds =\sqrt{dx^2  + dy^2 } = \sqrt{1+(dy/dx)^2}dx$$

를 대입하면 중력장에서 물체가 움직이는 최소시간 경로는 다음의 비선형 미분방정식을 풀어서 얻을 수 있다.

$$ \Big( \frac{dy}{dx} \Big)^2 = \frac{2r}{y}-1\quad \Longrightarrow \quad dx = \sqrt{ \frac{y}{2r-y}}dy$$

잘 알려지다시피 이 방정식의 해는 cycloid 곡선으로 다음과 같이 표현할 수 있다. 

$$ x= r(\psi - \sin \psi ), \quad y = r (1- \cos \psi)$$

여기서 $\psi = {\pi-2\theta}$로 주어진다.

변분을 이용해서 구하는 경우는 https://kipl.tistory.com/186

깊이가 $h$ 인 수영장 바닥에 있는 물체를 물 밖에서 바라볼 때 얼마의 깊이에 있는 것으로 보일까? 단, 바라보는 각도는 수직에 대해서 $\theta$ 이고, 물의 굴절률은 $n$ 이다. 참고: 그림은 물체의 위가 겉보기 위치인 것처럼 그려졌으나 항상 그런 것은 아니다.

1. $\frac{h}{n} \Big(  \frac{\cos^2 \theta}{1-{\sin^2 \theta}/{n^2} } \Big)^{3/2}$ 

2. $\frac{h}{n}$

3. $\frac{h\cos\theta}{n}$

더보기

 

눈은 작지만 유한한 크기를 가지고 있으므로 물체의 한 점에서는 나오는 여러 광선을 받아들인다. 눈에 들어오는 광선들의 연장선이 만나는 지점에 물체의 겉보기 위치가 된다. 그리고 같이 광선 1과 2의 경로를 분석해보자. 눈이 작으므로 두 광선은 매우 가까이 있다( $\delta\ll 1$: 그림은 과장되게 그려진 것이다). 광선 1에 Snell의 법칙을 적용하면

$$ n \sin\theta_i = \sin \theta_r$$

이다. 이보다 조금 다른 각도 $(\theta_r + d\theta_r)$ 로 들어오는 광선 2에 대해서도 Snell의 법칙을 적용한 후 $((n \sin (\theta_i + d\theta_i)  = \sin(\theta_r +d\theta_r) )$ 광선 1과의 차이를 구하면

$$ n \cos\theta_i d\theta_i  =\cos \theta_r d \theta_r  \quad \rightarrow \quad \frac{d\theta_i}{d\theta_r} = \frac{\cos\theta_r}{n\cos \theta_i}$$

그림에서 광선 1의 실제 경로에 대해서 물체의 수평 거리$(x)$와 깊이$(y)$의 관계는  $x=y\tan \theta_i$, 광선 2에 대해서는 $x+\delta = y \tan(\theta_i + d\theta_i)$이므로 둘의 차이를 계산하면

$$ \delta = y \sec^2 \theta_i d \theta_i$$

마찬가지로 광선1 과 2의 겉보기 경로에 대해 겉보기 수평 거리$(x_a)$와 깊이$(y_a)$의 관계를 정리하면

$$\delta = y_a \sec^2\theta_r d \theta_r$$

이므로

$$ \frac{d\theta_i}{d\theta_r} = \frac{y_a \cos^2 \theta_i}{y \cos^2 \theta_r}$$

두 결과를 종합하면

$$ y_a = \frac{y}{n} \left( \frac{\cos \theta_r}{\cos \theta_i}\right)^3 = \frac{y}{n}\left( \frac{\cos^2 \theta_r}{1 - {\sin^2 \theta_r}/{n^2}}\right)^{3/2}$$