수평과 $\theta$ 각을 이룰 때 막대는 막대-벽-바닥의 접촉점이 만드는 사각형의 바깥쪽 꼭짓점을 기준으로 순간적인 회전운동으로 이해할 수 있다. 이 점에 대한 회전관성은 $I=\frac{1}{6}mL^2$이므로 역학적 에너지 보존에 의해서 회전 각속도를 구할 수 있다.
$$ \omega^2 = \frac{3g}{L}(1-\sin \theta)$$
따라서 각가속도는
$$\alpha = -\frac{3g}{2L}\cos \theta$$
막대의 질량중심 수평좌표 $x= \frac{L}{2}\cos \theta$을 두 번 미분해서 질량중심의 가속도
slinky의 꼭대기에서 $y$ (자연 상태에서 위쪽에서 잰 위치)만큼 떨어진 부분이 무게 때문에 $y+f(y)$만큼 내려왔다고 하자. 이 $f(y)$가 무게 때문에 추가로 얼마나 더 쳐지는가를 알려주는 함수다. 미소 부분 $dy$는 $dy+df$만큼 늘어난다. 이 미소 부분의 FBD을 그리면 위쪽으로는 $T$가 작용하고, 아래쪽으로는 미소길이의 무게와 $\lambda g df$와 $T+dT$가 작용한다($dT <0$). $T$는 미소길이가 늘어났기 때문에 생기는 장력으로, 미소길이에 해당하는 용수철 상수는 $k L /dy$다: 용수철의 직렬 연결로 생각하면 길이가 짧아질수록 용수철은 더 딱딱해진다. 따라서, 장력을 미소길이의 늘어난 정도로 표현하면
$$ T = \Big( k\frac{L}{dy} \Big) df = kL \frac{df}{dy}$$
그리고 $T$는 나머지 아래의 무게를 지탱하므로 (또는 미소길이 부분에 뉴턴 법칙을 적용해서 얻은 식 $dT = -\lambda g dy, ~T(0)=\lambda g L$을 적분하던지)
$$ T = (L- y)\lambda g$$
두 식을 연립하면
$$ \frac{df}{dy} = \frac{\lambda g}{kL }(L-y)$$
을 얻는다. 이 식은 단위길이당 slinky가 늘어나는 비율이 $y=0$에서 제일 크고, $y=L$에서는 0임을 보여준다. 이식을 적분하면 전체적으로 늘어난 길이의 누적합은