Geometry & Recognition

리프트의 각 다리에 걸리는 힘을 부분하자. 리프트가 대칭적이므로 중심의 연결부분에서는 수평방향의 힘만 있다(수직방향의 힘을 가정하고 풀어도 된다). 한쪽 다리에 힘의 FBD은

힘의 평형조건에서 $$\sum F_x = F - R = 0$$ $$\sum F_y = N - W/2=0$$ 중심점에 대한 토크의 평형에서  $$\sum \tau = (L/2)\cos\theta (N +W/2) -(L/2)\sin \theta R  = 0$$ 미지수가 3개이고 방정식도 3개이므로 풀 수 있다. 해는 $$ F=R = W \cot \theta, \quad N = W/2$$

중심축에서 수직방향 힘 성분을 가정하면 힘 성분이 6개가 들어오고(어떤 힘?), 양쪽 다리에 대해서 힘/토크 평형을 적용하면 6개의 식을 만들 수 있다.

줄이 만드는 곡선이 catenary라는 사실을 이용하면 쉽다. 중심축을 $x=0$으로 잡으면 줄은 

$$ y = a \cosh(x/a) + c$$

의 형태로 주어진다. $a$는 장력의 수평 성분 $T_0$와 선밀도, 줄의 길이가 결정한다: $a = T_0/ \lambda g$. 또한 꼭짓점에서 곡률 반지름은 $R=a$로 주어진다. (참고: https://kipl.tistory.com/105)

줄이 평형상태이므로 고정점에 걸리는 장력이 $T$이면 수직 성분은 줄의 무게를 감당해야 하므로 $ 2T\sin \theta = \lambda \ell g $임을 알 수 있고, 수평 성분은 $T_0 = T\cos \theta = \lambda \ell g \cot (\theta) /2$이다. 따라서 $a  = \ell \cot (\theta) /2$.

꼭짓점에서 내려왔을 때 구슬의 속력은 $v=\sqrt{2gd}$이고, 순간적으로 원운동을 하므로 구심 가속도를 가진다.

$$a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{ 2gd}{ \frac{\ell  \cot\theta}{2}}=\frac{4d \tan\theta}{\ell}g$$

그런데, 각도가 $\theta\rightarrow \pi/2$로 되면 가속도가 무한히 커진다. 이는 접히는 꼭지점에서 순간적으로 속도가 반대방향으로 바뀌어야 하므로 생기는 unrealistic 한 결과다.

catenary에 의존하지 않고 좀 더 물리적으로 설명하는 방법이 없을까? 당연히 있다.