반구의 질량중심은 구 중심에서 $\frac{3}{8}R$ 아래에 있다. 그리고 반구의 중심에 대한 회전관성은 $I_{c} = \frac{2}{5} MR^2$이다(같은 질량의 온전한 구의 회전관성과 같다). 따라서 질량중심을 지나고 지면에 수직인 축에 대한 회전관성은 $I_{cm}=I_c - M(\frac{3}{8} R)^2 = \frac{83}{320} MR^2 $. 수직에 대해 $\theta$ 만큼 굴렸을 때 질량중심의 좌표는 그림에서 보면 (작은 진동만 고려하면 되므로 $\theta^2$ 항까지만 고려하면 된다) \begin{align} x &= R \theta - \frac{3}{8}R \sin \theta \approx \frac{5}{8} R \theta \\ y &= R - \frac{3}{8}R \cos \theta \approx \frac{5}{8}R + \frac{3}{16} R \theta^2 . \end{align} 역학적 에너지가 보존되므로 우선 운동에너지와 위치에너지를 각각 구하면 \begin{align*} K & =\frac{1}{2} M(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 )+ \frac{1}{2} I \dot{\theta}^2 \approx \frac{1}{2} M \Big( \frac{5}{8} R \dot \theta \Big)^2 + \frac{1}{2} \frac{83}{320 } M R^2 \dot{\theta}^2 = \frac{13}{40} MR^2 \dot{\theta}^2 \\ U &=Mgy\approx Mg \frac{5}{8}R + Mg\frac{3}{16}R \theta^2 = \frac{5}{8}mgR + \frac{3}{16} MgR \theta ^2 \end{align*}
또는 접촉점에 대한 순간회전을 한다는 사실을 이용하면 운동에너지는 쉽게 구할 수 있다. 접촉점에서 반구의 질량중심까지의 거리는
지구 내부(물론 지구는 완벽한 반지름 $R$인 구이고 밀도는 균일하다고 가정한다)에 직선 터널을 뚫어 두 지점을 연결할 때 순수한 중력에 의해서 터널을 통과하는 데 걸리는 시간은 직선 터널의 길이에 상관없이 항상 $T= \pi \sqrt{\frac{R}{g}}=42~\text{min}$로 주어진다. 이는 지표면을 스치듯이 지나는 인공위성의 주기의 절반에 해당한다. 균일한 중력장에서 두 지점을 잇는 직선 경로가 최단 시간 경로가 아니듯 이 경우에도 더 짧은 통과시간을 가지는 경로를 만들 수 있다.
를 얻는다. 출발지점은 $\phi=0$이고, 중심에서 가장 가까운 지점$(r=R_0)$은 $\phi=\pi$ 그리고 도착지점은 $\phi=2\pi$에 해당한다. 이제 도착시간을 계산하면
$$t = \frac{1}{\omega} \int \frac{sds}{\sqrt{(1-s^2) (s^2- s_0^2) }} $$로 쓸 수 있는데 앞의 치환을 이용하면
$$ t = \frac{1}{2\omega} \sqrt{1- s_0^2} \phi$$
를 얻는다. $\phi= 2\pi$을 대입하면
$$ t ={\pi}\sqrt{\frac{R}{g}} \sqrt{1- \left(\frac{R_0}{R}\right)^2}$$
이어서 직선 터널을 움직이는 시간보다 짧다. 그리고 중심을 통과할 때는 ($R_0=0$) 곡선은 직선이 된다. 지구 내부에서 최단시간 곡선은 지구 내부에서 반지름 $r= (R-R_0)/2$인 원을 굴렸을 때 원의 한 지점이 그리는 곡선의 자취로 표현되고, 이 곡선을 hypocycloid라 한다. 이는 직교좌표를 사용하면 더 쉽게 볼 수 있다.
Fermat의 원리는 빛이 한 지점에서 다른 지점으로 진행할 때 가장 시간이 적게 드는 경로를 따라 움직인다고 이야기하고 있다. 광속은 굴절률이 큰 곳에서 작아지므로 굴절률이 다른 두 지점을 통과하는 빛의 경로는 되도록이면 광속이 큰 곳을 오래 머무르는 경로를 선택하는 것이 시간상 유리하다. 따라서 매질의 경계면에서 진행방향이 꺾여야 된다. 구체적으로 광속이 $v_1$인 매질에서 $v_2$인 매질로 빛이 진행할 때 입사각 $\alpha_1$, 굴절각 $\alpha_2$인 경우
$$ \frac{ \sin \alpha_1 }{v_1}= \frac{\sin \alpha_2}{v_2} \quad \Longrightarrow \quad \frac{v} {\sin \alpha} =\text{const}$$을 만족한다. 여기서 $\alpha$는 빛의 진행 방향을 매질 경계면에 수직인 방향에 대해 잰 각이다.
Fermat의 원리는 중력장에서 움직이는 물체에 대해서도 적용할 수 있다. 물체가 움직이면 중력 때문에 속력이 변하게 되므로 두 지점을 잇는 직선을 따라 움직이는 경로는 최단시간 경로가 되지 못한다. 구체적으로 한 지점에서 출발해서 처음보다 아래방향으로 $y$만큼 속력은 역학적 에너지 보존에 의해서
$$ v^2 = 2gy$$
로 주어진다. 속력이 $y$값이 (아래로) 증가하면 빨라지므로 굴절률이 $\sqrt{y}\sim \sqrt{-U_\text{grav}}$에 반비례해서 연속적으로 감소하는 경우로 생각할 수 있다.
물체가 움직이는 경로상의 한 지점에서 접선이 수평에 대해 $\theta$만큼 기울어진 경우 입사각은 $\frac{\pi}{2}-\theta$이고, $\cos \theta = dx/ds$이다. 따라서 스넬의 법칙은 (제곱을 해서)
수직 평면 상에서 곡선 $y=y(x)$을 따라 움직이는 물체의 운동을 생각하자. 이 물체는 마찰이 없이 움직일 수 있고 일정한 중력의 영향을 받는다. 높이 $y=h$에서 출발하여 바닥 $y=0$에 도달하는 데 걸리는 시간은 일반적으로 출발 높이에 따라 달라진다. 역학적 에너지 보존법칙을 쓰면 바닥까지 내려오는 데 걸리는 시간 $T(h)$는
일반적으로 출발 높이가 낮으면 움직이는 거리가 짧아지므로 도착 시간도 짧아진다. 그러나 가속이 충분히 되지 않으므로 거리에 비례해서 시간이 짧아지지는 않는다. 그럼 도착 시간이 출발 높이에 무관하게 일정한 곡선을 찾을 수 있을까? 물론 답은 있고, 그때 물체가 움직이는 곡선을 tautochrone curve(등시곡선)이라 부른다.
물체가 움직이는 경로의 line element $d\ell $를 $$ d\ell = \sqrt{dx^2 +dy^2} = \sqrt{ 1 + \Big(\frac{dx}{dy}\Big)^2 } dy= f(y)dy$$처럼 쓰면 도착 시간은 $$T(h) = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int_0^h \frac{f(y)}{\sqrt{h-y}} dy$$
가 된다. 이는 $f(y)$외 $1/\sqrt{y}$의 convolution 형태가 되어 Laplace 변환을 사용하기 좋은 모양이다. 양변에 Laplace 변환을 취하면
도착 시간이 높이에 무관하게 일정하다면 $$T(h)= T_0=\text{const}$$로 쓸 수 있으므로 Laplace 변환은 $\widetilde{T}(s) = T_0/s$이다. 따라서 곡선 형태를 결정하는 $f(y)$의 Laplace 변환은
$$ \tilde{f}(s) = \sqrt{\frac{2gT_0^2}{\pi^2}} \sqrt{\frac{\pi}{s}}$$ 이를 역변환시키면
$$ f(y) = \sqrt{\frac{2gT_0^2}{\pi^2}} \frac{1}{\sqrt{y}} $$임을 쉽게 알 수 있다. 이제 구체적인 곡선의 형태를 구하면 $$ x=\int dx =\int \sqrt{f^2(y)-1} dy =\int \sqrt{ \frac{{2gT_0^2}/{\pi^2 } - y}{y}}dy$$이고, 적분하기 위해 곡선이 $(x,y)=(0,0)$을 통과하는 조건을 주자. 그리고 $$y = \frac{2gT_0^2}{\pi^2} \sin ^2( \theta/2) = \frac{gT_0^2}{\pi^2} (1- \cos \theta)$$로 매개변수화하면(이 경우 $dy/dx = \tan (\theta/2)$)
$$ x = \int_0^{ \theta_0} \frac{ gT_0^2}{\pi^2} (1 +\cos \theta) d \theta \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{gT_0^2}{\pi^2}( \theta + \sin \theta)$$
이어서 $(x(\theta), y(\theta))$는 cycloid가 됨을 알 수 있다. 이 cycloid는 반지름 $gT_0^2/\pi^2$인 원을 일정한 높이의 수평선 $y=2gT_0^2/\pi^2$에 접하게 굴릴 때 원점에서 바닥과 접촉했던 점이 그리는 곡선이고, $\theta$는 원의 중심과 이 점을 잇는 선분이 수직과 이루는 각을 나타낸다.
위에서 구한 cycloid 곡선을 도착시간 공식에 대입해서 확인해 보자. $h-y= \frac{gT_0^2}{\pi^2} (\cos \theta - \cos \theta_0)$이고,
$$ d\ell = \frac{gT_0^2 }{\pi^2}\sqrt{2(1+\cos \theta) } d \theta $$
이므로 내려가는데 걸리는 시간 \begin{align} T(h) & = \frac{T_0}{\pi} \int_0^{\theta_0} \sqrt{ \frac{1+\cos \theta}{ \cos \theta - \cos \theta_0 }} d \theta \\ &= \frac{2T_0}{\pi} \int_0^{\theta_0} {\frac{d\sin (\theta/2)}{\sqrt{\sin^2(\theta_0/2)-\sin^2(\theta/2)}}}= T_0 \end{align}이 출발 높이($=h$)에 상관없이 일정함을 확인할 수 있다. 바닥까지 내려가는데 걸리는 시간 $T_0$가 정해지면 원의 반지름 $gT_0^2/\pi$이 결정되어 곡선 모양이 자동으로 정해진다.
